matematikk.net

Hei!

Noen som har noen tips til bevis av:

La [tex]\sum_{n=1}^{\infty} a_n[/tex] være en serie slik at [tex]a_n>0[/tex]. Vis at hvis grensen [tex]lim_{n\to \infty}\frac {a_{n+1}}{a_n}=q[/tex] eksisterer, da eksisterer også [tex]lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a_n}=q[/tex]. Altså den eksisterer og har samme verdi...

På forhånd takk!

Bruk $\epsilon-\delta$-definisjonen av en grense.

For alle $\epsilon>0$ fins en $N$ slik at $|\frac{a_{n+1}}{a_n}-q|<\epsilon$ for alle $n\geq N$, så

$-\epsilon<\frac{a_{n+1}}{a_n}-q<\epsilon$ for alle $n\geq N$, som er ekvivalent med

$a_n(q-\epsilon)<a_{n+1}<a_n(q+\epsilon)$.

Se på den siste ulikheten først. Trikset nå er å bruke denne ulikheten om og om igjen, slik at

$a_{N+k}<a_N(q+\epsilon)^{k}$ for k=1,...,

Herfra klarer du sikkert å løse oppgaven.

Ytterligere hint: For positive reelle tall x er $\lim_{n\to\infty} x^{\frac{1}{n}}=1$

Takk. Fikk den til i løpet av ettermiddagen...