matematikk.net

Kan noen hjelpe meg med disse?

lim 1-cosx/sin(x[sup]2[/sup]) Fasit:1/2
x->0



lim arctanx/arcsinx Fasit:1
x->0

På forhånd takk

Her får du grenseverdier av formen "0/0". I begge tilfellene er funksjonene i nevneren (sin(x[sup]2[/sup]) og arcsin x) deriverbare og forskjellig fra 0 når │x│< 1. Ifølge L`Hopitals regel blir da

lim[sub]x->0[/sub] (1 - cos x) / sin(x[sup]2[/sup]) = lim[sub]x->0[/sub] (1 - cos x)´ / [sin(x[sup]2[/sup])]´ = lim[sub]x->0[/sub] sin x / (2x cos(x[sup]2[/sup]))
= [ lim[sub]x->0[/sub] sin x/x] * [lim[sub]x->0[/sub] 1/(2 cos x) ] = 1 * (1/(2*cos 0)) = 1/(2*1) = 1/2.

lim[sub]x->0[/sub] arctan x / arcsin x = lim[sub]x->0[/sub] (arctan x)´ / (arcsin x)´ = lim[sub]x->0[/sub] [1/(1 + x[sup]2[/sup])] / [1/kv.rot(1 - x[sup]2[/sup])]
lim[sub]x->0[/sub] kv.rot(1 - x[sup]2[/sup]) / (1 + x[sup]2[/sup]) = kv.rot(1 - 0[sup]2[/sup]) / (1 + 0[sup]2 [/sup]) = 1.

...

Takk så mye for kjapt svar