matematikk.net

Hei.
Jeg lurer på følgende oppgave:
[tex]F(X,Y)=\alpha X^2+\beta Y^2[/tex] med [tex]\alpha ,\beta >0[/tex]
Vis at denne funksjonen er konkav i et Y,X-diagram.

Det er også gitt at det kun er positive verdier av X og Y som er relevant her.
I et 2D-plot er det tydelig at denne er konkav, som man kan se av konturene nedenfor:

Men hvordan viser jeg dette matematisk?

Jeg vet hvordan man viser om funksjonen er konveks/konkav i et XYZ-diagram, men hvordan gjør man det når man må avgrense til et XY-diagram?
Jeg prøvde å løse funksjonen mhp. Y først og deretter dobbelderivere den mhp. X, men da ble svaret null, som jo er feil...

Ingen her som vet dette?

Funksjonen $f(x,y)=\alpha x^2+\beta y^2$ er konveks, ikke konkav, for positive $\alpha$ og $\beta$.

Definisjonen av en konveks funksjon i én variabel er at alle linjesegmenter mellom par av punkter på grafen til funksjonen ligger over grafen. Du får jo en helt analog definisjon for en funksjon av to variable.

plutarco wrote:Funksjonen $f(x,y)=\alpha x^2+\beta y^2$ er konveks, ikke konkav, for positive $\alpha$ og $\beta$.

Definisjonen av en konveks funksjon i én variabel er at alle linjesegmenter mellom par av punkter på grafen til funksjonen ligger over grafen. Du får jo en helt analog definisjon for en funksjon av to variable.

Men figuren jeg viser til i første innlegg, viser jo at den skal være konkav i et 2D-perspektiv. Jeg skjønner at den er konveks i et 3D-perspektiv, men når jeg skal tegne den i 2D i et XY-diagram, så vil kurvene se konkave ut. Jeg må vise matematisk hvordan funksjonen kan ha denne formen i et 2D-perspektiv.

Hvis du avgrenser funksjonen til et gitt plan [tex]z=F_0[/tex] da får du lignignen

[tex]\alpha x^2+\beta y^2=F_0[/tex]

Her ville det vanligvis ikke vært mulig å finne en lovlig funksjon f(x)=y (til hver x verdi tilhører det kun en y verdi), men siden x og y er restriktert til positive verdier
går det allikevel. Løser man ligningen for y får man [tex]y=\pm\sqrt{\frac1{\beta}(F_0-\alpha x^2)}[/tex].
Og nettopp på grunn av restriksjonen kan den negative løsningen utelukkes. Hvis du nå dobbeltderiverer kan du vise at funksjonen er konkav!

Brahmagupta wrote:Hvis du avgrenser funksjonen til et gitt plan [tex]z=F_0[/tex] da får du lignignen

[tex]\alpha x^2+\beta y^2=F_0[/tex]

Her ville det vanligvis ikke vært mulig å finne en lovlig funksjon f(x)=y (til hver x verdi tilhører det kun en y verdi), men siden x og y er restriktert til positive verdier
går det allikevel. Løser man ligningen for y får man [tex]y=\pm\sqrt{\frac1{\beta}(F_0-\alpha x^2)}[/tex].
Og nettopp på grunn av restriksjonen kan den negative løsningen utelukkes. Hvis du nå dobbeltderiverer kan du vise at funksjonen er konkav!

Flott! Takk skal du ha!