matematikk.net

Hei,

Kunne noen gitt en pekepinn på hvor det er lurt å starte for å løse denne differensialligningen?

[tex]2\left(x-y(x)\right)\left(1-\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right) = 2x[/tex]

Løsning er: [tex]y = x\pm\sqrt{x^2-C}[/tex]

Jeg er usikker på om det er noen standard fremgangsmåte for slike diff. ligninger. Jeg fant dog en måte å løse den på og kan gi noen hint
i retningen av den løsningen.

Løs først opp parentesen og stryk så mye som mulig. Slik ligningen står nå lar den seg ikke løse direkte. Trikset her er å prøve å finne en lur omskrivning
for eksempel ved hjelp av regelen for den deriverte av en brøk eller et produkt baklengs. Det er ikke alltid like lett å gjenkjenne slike direkte så det greieste er
å prøve seg litt frem. Finner du en passende omskrivning skulle resten være ganske enkelt.

Si ifra hvis dette var for diffust!

zell wrote:Hei,

Kunne noen gitt en pekepinn på hvor det er lurt å starte for å løse denne differensialligningen?

[tex]2\left(x-y(x)\right)\left(1-\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right) = 2x[/tex]

Løsning er: [tex]y = x\pm\sqrt{x^2-C}[/tex]

La $z(x)=x-y$. Da er $\frac{dz}{dx} = 1-\frac{dy}{dx}$. Altså kan vi skrive det som en separabel diffligningen for z: $2z\frac{dz}{dx}=2x$.

Takk!