matematikk.net

Anta at du skal lage en lukket boks av kartong med kvadratisk grunnflater og med sidekant x
Volum på boksen må være 1000 kubikkcentimeter (som er det samme som 1 liter).
Hvordan vil du konstruere boksen slik at forbruket av kartong blir minst mulig?
Hvor mye kartong går i så fall med.
Kan du vise at generelt (for alle volum) er det slik at en kube er løsningen (det vil si at
x = V1/3)?

kan noen hjelpe meg å løse denne oppgaven?

Vi har altså gitt volumet og ønsker og finne siden og høyden slik at forbruket av kartong blir minimert, med andre ord minimere overflaten.
La [tex]V[/tex] være volumet av boksen og [tex]O[/tex] overflaten.

Generelt vil for denne typen kartong [tex]V=x^2h[/tex] hvor [tex]x[/tex] er siden i grunnflaten og [tex]h[/tex] høyden.
Siden boksen er lukket har vi at overflaten består av toppen, bunnen og 4 stående overflater. Arealet av toppen og bunnen vil være [tex]x^2[/tex] og
de stående flatene vil være [tex]xh[/tex] som gir at den totale overflaten blir [tex]O(x,h)=2x^2+4xh[/tex] (tegn en figur).

Her kan du bruke volumsammenhengen til å eliminere en av variablene. Husk at volumet her er en konstant. Hvis du får til det vil overflaten være en
funksjon av kun en variabel og den burde være grei å minimere.

Brahmagupta wrote:Vi har altså gitt volumet og ønsker og finne siden og høyden slik at forbruket av kartong blir minimert, med andre ord minimere overflaten.
La [tex]V[/tex] være volumet av boksen og [tex]O[/tex] overflaten.

Generelt vil for denne typen kartong [tex]V=x^2h[/tex] hvor [tex]x[/tex] er siden i grunnflaten og [tex]h[/tex] høyden.
Siden boksen er lukket har vi at overflaten består av toppen, bunnen og 4 stående overflater. Arealet av toppen og bunnen vil være [tex]x^2[/tex] og
de stående flatene vil være [tex]xh[/tex] som gir at den totale overflaten blir [tex]O(x,h)=2x^2+4xh[/tex] (tegn en figur).

Her kan du bruke volumsammenhengen til å eliminere en av variablene. Husk at volumet her er en konstant. Hvis du får til det vil overflaten være en
funksjon av kun en variabel og den burde være grei å minimere.

Hei, jeg sliter også med denne oppgaven!

Har funnet ut at V=x^2*h, og O= 2x^2 + 4xh, videre har jeg gjort slik:

V = x^2*h
h = x^2/V
Volum = 1000
h=x^2/1000

Setter inn i O
O = 2x^2+4x * (x^2/1000)
O = 2x^2 + (4x^3/1000)
O = 2x^2 + 4x^3 + 1/1000

Jeg tror ikke det jeg har gjort er riktig? Hva skal gjøre videre?

Virker riktig det, jennieh. Det eneste du trenger å gjøre da er å finne når omkretsen er minst (husk at du skal bruke så lite som mulig av materialet for å konstruere boksen). Siden omkretsen er en funksjon av [tex]x[/tex], hva kan du da gjøre for å finne ut hvor funksjonen har sin(e) minste verdi(er)?

mikki155 wrote:Virker riktig det, jennieh. Det eneste du trenger å gjøre da er å finne når omkretsen er minst (husk at du skal bruke så lite som mulig av materialet for å konstruere boksen). Siden omkretsen er en funksjon av [tex]x[/tex], hva kan du da gjøre for å finne ut hvor funksjonen har sin(e) minste verdi(er)?

Jeg kan derivere funksjonen, og sette den lik 0? eller kan man finne det på en annen måte?

når jeg deriverer får jeg O'(x) = 12x^2 + 4x, setter jeg det lik 0, får jeg x=1/3 eller x=0
hvordan finner jeg ut hvor mye kartong som har gått med? Skal jeg sette verdien for x inn i funksjonen for O?

Oi beklager, du hadde visst gjort feil på starten der. Jeg kikket litt nøyere gjennom og regnte på det, og du skal til slutt ende opp med at [tex]O(x) = 2x^2 + 4/x[/tex], som er overflaten og ikke omkretsen som jeg trodde oppgaven spurte etter ^^ Så da må du nok regne på nytt, og så derivere igjen.

Skjønner ikke helt hvor jeg har gjort feil Prøvde å regne igjen, men kommer ikke frem til det samme som deg. Kan du vise hvordan du får O(x)=2x^2+4/x? (:

Prøv tegne opp figur, så skjønner du det sikkert bedre.

[tex]V = x^2h[/tex]

[tex]h = \frac{1}{x^2}[/tex] (Hvis vi konverterer [tex]1000cm^3[/tex] til [tex]1dm^3[/tex])

Videre er jo arealet gitt ved:

[tex]O(x, h) = 2x^2 + 4xh[/tex] (to kvadratiske flater og fire "vegger)

Substituerer du høyden jeg fant i stad, får du:

[tex]O(x) = 2x^2 + 4\frac{x}{x^2}[/tex]

[tex]O(x) = 2x^2 + 4\frac{1}{x}[/tex]

Jeg ser at feilen du gjorde var ganske liten, men betydelig, for du fikk at [tex]h = \frac{x^2}{V}[/tex]

Nå skjønte jeg det! Tusen takk for hjelpen