matematikk.net

[tex]\int\frac{1}{\sqrt{2}}V_{0}e^{-kt}\sqrt{(1+e^{-kt})} dt[/tex]

Der V0 og k er positive konstanter. Gi en tolkning av V0, og finn det ubestemte integralet.

Hva vil det si å gi en tolkning, og hvordan går man fram for å finne integralet?

Substitusjon: [tex]u = 1+e^{-kt} \ \Rightarrow \ \frac{du}{dt} = -ke^{-kt} \ \Rightarrow \ -\frac{du}{k} = e^{-kt}dt[/tex]

Innsatt:

[tex]I = \int\frac{V_0}{k\sqrt{2}}e^{kt}\sqrt{1+e^{kt}}dt = -\int\frac{V_0}{k\sqrt{2}}u^{1/2}du = -\frac{V_0}{k\sqrt{2}}\frac{2}{3}u^{3/2}+C = -\frac{\sqrt{2}}{3k}V_0\left(1+e^{-kt}\right)^{3/2}+C[/tex]

Når det gjelder tolkning av $V_0$ så er det litt vanskelig mtp. at vi ikke vet hva den representerer, men vi ser at det er en alminnelig faktor i uttrykket, som betyr at den skalerer verdien av hele uttrykket.