matematikk.net

Hei

Jobber med lineær algebra og fikk følgende spørsmål:

Nevn alle underrom i R3. Noen som kan svare/forklare?

Hva er dimensjonen til [tex]\mathbb{R^3}[/tex]. Hvis [tex]U[/tex] er et underrom av [tex]\mathbb{R^3}[/tex] hva kan du si om dimensjonen til [tex]U[/tex]?
Hva kan du si om to vektorrom [tex]V[/tex] og [tex]W[/tex] hvis de begge er endelig-dimensjonale og har samme dimensjon?

Dimensjonen til R3 er jo 3. Hvis U er et underrom av R3 må vel U også ha dimensjon 3 slik jeg har forstått det. Slik jeg ser er det er 0 vektoren et underrom (0i 0j 0k) og selve R3 et underrom av R3. Men, finnes det ikke en hel haug i mellom? Hvis vi f.eks sier en delmengde V i R3 består alle vektorer <x y z> gitt at x=2x. Denne delmengden må i følge definisjonen være et vektorrom, således et underrom av R3? Og det finnes jo utallige slike underrom?

lchaaa wrote:Dimensjonen til R3 er jo 3. Hvis U er et underrom av R3 må vel U også ha dimensjon 3 slik jeg har forstått det. Slik jeg ser er det er 0 vektoren et underrom (0i 0j 0k) og selve R3 et underrom av R3. Men, finnes det ikke en hel haug i mellom? Hvis vi f.eks sier en delmengde V i R3 består alle vektorer <x y z> gitt at x=2x. Denne delmengden må i følge definisjonen være et vektorrom, således et underrom av R3? Og det finnes jo utallige slike underrom?

gitt at x=2y mener jeg så klart

Jo, du er inne på noe. [tex]\mathbb{R^3}[/tex] regnes som et underrom av seg selv og det trivielle underrommet [tex]\{0\}[/tex] er et underrom.
Det du sier om at det er en haug med underrom mellom disse er riktige, men det er vanlig å se på vektorrom opp til isomorfi. Det vil si at man
regner to vektorrom som like hvis det finnes en bijektiv lineæravbildning mellom dem. Det viser seg at vektorrom av samme dimensjon er isomorfe (de er
strukturelt like). Det vil si at siden [tex]\mathbb{R^3}[/tex] har dimensjon 3 og et underrom må ha dimensjon mindre eller lik vektorrommet. Så kan det bare finnes
underrom av dimensjon 0,1,2 eller 3. Tilfellene 0 og 3 har du jo allerede funnet. Men det er altså underrom av dimensjon 1 eller 2 også, eksempelvis en linje
eller et plan (gjennom origo).

Så konklusjonen blir at det er totalt 4 underrom opp til isomorfi. Men som du sier så er det uendelig mange underrom av dimensjon
1 og 2, (det er uendelig mange plan og linjer gjennom origo). For å finne eksempler på underrom av dimensjon 1 eller 2 er det bare å finne henholdsvis
1 eller 2 lineært uavhengige vektorer og underrommene vil være gitt ved spennet av disse.

Takk skal du ha! Et solid bidrag til et helvetes eksamenskjør