matematikk.net

Hvordan blir $ \int \frac{x^2}{1+x^2} = \int (1- \frac{1}{1+x^2})$ Hva slags algebra er det som foregår her?

Delbrøkoppspalting. (Eng: Partial fraction expansion.)

Aleks855 wrote:Delbrøkoppspalting. (Eng: Partial fraction expansion.)

huh?

Kan sikkert løse den oppgaven med delbrøkoppspalting, men hvis man taster $ \frac{x^2}{1+x^2}$ inn i wolframalpha får man at $ \frac{x^2}{1+x^2}= 1- \frac{1}{1+x^2} $ og dette er jo et superenkelt integral å løse.

Delbrøkoppspalting er ikke bare noe man bruker ved integraler. Det er noe man bruker for å dele opp en brøk i flere. Og det kan brukes til å gjøre nettopp det du spør om. Og det er sannsynligvis slik Wolfram også produserer den nye skrivemåten.

Det brukes ofte nettopp i integral-oppgaver fordi flere små brøker er lettere å integrere enn en stor, og det er ofte først under integralregning at man lærer om det. Derfor er det lett å tenke at det kun er noe man bruker ved integrasjon.

Delbrøkoppspalting? Det som skjer her kan man enten gjøre ved polynomdivisjon, eller ved å observere at $\frac{x^2}{1+x^2} = \frac{1+x^2 - 1}{1+x^2} = \frac{1+x^2}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$. Delbrøkoppspalting brukes for å skrive en brøk som en sum av brøker med lavere grad i nevnerne (som regel førstegradspolynomer eller irredusible andregradspolynomer). Her er ikke nevneren faktoriserbar, så delbrøkoppspalting har lite for seg.

Jeg som blingsa der. En stund siden jeg har spalta brøker, så jeg glemte kriteriet.