matematikk.net

Hei! Fikk utrolig god hjelp sist gang jeg postet her, så prøver lykken igjen.

Jeg prøver å bevise at hvis G er en syklisk gruppe, så er det maximalt én undergruppe av orden d, hvor d deler orden av G. Jeg har prøvd å annta at to undergrupper har samme orden, så må de være like, men jeg har ikke kommet helt til mål dessverre. Har noen mulighet til å hjelpe meg?

På forhånd takk!

Siden G er syklisk kan du starte med å se på en surjektiv homomorfi $f:\mathbb{Z}\to G$. Bruk at undergruppene i Z er på formen mZ, og at f vil bevare undergrupper. Dersom H er en undergruppe i G, må H = f(mZ) for en eller annen m. Vis at m er unikt bestemt når H sin orden er gitt.

Takk for svar!

Vi har ikke gjennomgått homomorfier enda dessverre.. Vet du om det er noen måte å gjøre det på uten homomorfier?

OK,

Skriv $G=\{1,a,a^2,...,a^{n-1}\}$, så G er generert av $a$, og har orden n. Vi vet at det fins en undergruppe $<a^{\frac{n}{d}}>$av orden d generert av $a^{\frac{n}{d}}$.

La H være en undergruppe av orden d,som deler n. Altså består H av elementer på formen $a^s$. I tillegg er H syklisk (alle undergrupper av sykliske grupper er selv sykliske), så det må eksistere en generator i H.

Vi må nå vise at H må være lik $<a^{\frac{n}{d}}>$.

Skriv $H=\{1,a^{s_1}, a^{s_2 },...,a^{s_{d-1} }\}$. Vi kan betrakte eksponentene modulo n siden $a^n=1$, og videre arrangere elementene i H slik at $s_1<s_2<...,<s_{d-1}$. Det vi nå må vise er at $s_1=\frac{n}{d}$ og at $a^{s_1}$ genererer H.

la d være en divisor av n=|G|. Se på H={x e G: x^d=1}. Da er H en undergruppe av G og H inneholder minst alle elementer av G som har orden d. (Bare ASCII dessverre: e == er element i)

Hvis K er en undergrupp av G av orden d, da er K syklisk, generert av et element av orden d. Derfor er K en undergruppe av H.

Motsatt, x e H hviss x=g^k med 0<=k<n og g^kd=1, hvor g er en generator av G.

Så kd=nt, og k=(n/d)t. Begrensingen 0<=k<n impliserer 0<=t<d, så H har akkurat d elementer. Derfor er K = H

Plutarco, jeg kan ikke se tex formattering, så kanskje jeg leser feil. Ville bare kommentere at enhver syklisk gruppe med orden >2 har mer enn en generator.