matematikk.net

Hei, skulle gjerne hatt litt assistanse hva angår følgende oppgave;

Løs rekursjonen [tex]a_n - a_{n-1} - a_{n-2} = 0, n \geq 2, a_0 = 1[/tex] og [tex]a_1 = 2[/tex]

Setter opp andregradslikningen [tex]r^2 - 1 -1 = 0[/tex] og får [tex]r = \frac{1 \pm \sqrt{5}} {2}[/tex]

Setter inn i generell løsning for rek.likn:

[tex]a_n = c_1 \cdot ({\frac{1 + \sqrt{5}} {2}})^n + c_2 ({\frac{1 - \sqrt{5}} {2}})^n[/tex]

Setter inn randbetingelsene og får at [tex]1 = c_1 + c_2 => c_1 = 1 - c_2[/tex]og at [tex]2 = ({\frac{1 + \sqrt{5}} {2}}) \cdot c_1 + 2 = ({\frac{1 - \sqrt{5}} {2}}) \cdot c_2[/tex]

Jeg får videre at [tex]c_2 = \frac{1 - \sqrt{5}} {4}[/tex]og at [tex]c_1 = \frac{3 + \sqrt{5}} {4}[/tex].

Læreren får derimot at både [tex]c_1[/tex] og [tex]c_2[/tex] er lik [tex]\frac{1} {\sqrt{5}}[/tex] og at det i stedet for opphøyd i n skal være [tex]n+2[/tex] i linje 4.

=

Noen som kan tilby litt assistanse?

PS. Phew, LaTex-koding er stress.

Jeg får at [tex]{c_1} = {{\sqrt 5 - 3} \over {\sqrt 5 - 5}},{c_2} = {{\sqrt 5 + 3} \over {\sqrt 5 + 5}}[/tex], det er veldig greit å prøve svaret med en avansert kalkulator.

Læreren sitt svar er riktig. Ditt svar er nok ikke helt riktig. Merk at det kunne vært riktig selv om det så litt annerledes ut, men i dette tilfellet
må du ha gjort noen feil i utregningen.

Rekken er ekvivalent med Fibonacci rekken forskjøvet to ledd frem. Den generelle Fibonacci rekken kan skrives som [tex]F_{n+2}=F_{n+1}+F_n[/tex]
som er ekvivalent med [tex]F_{n+2}-F_{n+1}-F_n=0[/tex] med startverdier [tex](F_0,F_1)=(0,1)[/tex]. Merk at da blir [tex]F_2=1[/tex] og [tex]F_3=2[/tex]
og det er dette jeg mener med forskjøvet med to ledd. Denne differensligningen har løsning
[tex]F_n=\frac1{\sqrt5}((\frac{1+\sqrt5}2)^n-(\frac{1-\sqrt5}2)^n)[/tex]
Da kan man se at [tex]a_n=F_{n+2}[/tex] som tilsvarer læreren sin løsning.

Hvis du skulle funnet [tex]c_1[/tex] og [tex]c_2[/tex] ved å løse ligningssystemet ditt direkte skulle du fått [tex]c_1=\frac{3+\sqrt5}{2\sqrt5}[/tex]
og [tex]c_2=\frac{3-\sqrt5}{2\sqrt5}[/tex].

Grunnen til at disse to løsningene er like er at [tex](\frac{1\pm \sqrt5}{2})^2=\frac{3\pm\sqrt5}{2}[/tex]

Hehe, fantastisk. Takk for svar begge to.