matematikk.net

Hei!

Nå har jeg slitt i flere timer med en oppgave fra en innlevering. Har skrevet side opp og side ned men kommer ingen vei. Enten så har jeg gått glipp av noe grunnleggende i det å løse slike likninger eller så gjør jeg noe galt.
Oppgaven lyder:

"Finn det komplekse tallet z=a+ib som er løsningen av likningen z+((4-2i)/(1+i))*(konjugert z) = (2+1)^2

Beklager at jeg ikke fikk til å skrive likningen bedre.

Løsningen er:

z= - (4/3) - (17/9)i

Fint om noen kunne hjelpe meg før frustrasjonen tar helt overhånd her!

På forhånd takk!

Jeg antar likningen du vil løse er denne:

[tex]z+\frac{4-2i}{1+i}\overline{z} = (2+i)^2[/tex]

der [tex]z=a+bi[/tex].

Det vi må gjøre her er å dele venstresiden av likningen opp i sin realdel og imaginærdel. Vi kan så sammenligne med realdelen og imaginærdelen på høyresiden og sette opp to likninger med to ukjente for å finne a og b. Merk også at når [tex]z=a+bi[/tex], så er [tex]\overline{z}=a-bi[/tex].

Vi starter med å bli kvitt nevneren i brøken på venstresiden. Dette gjøres ved å multiplisere brøken oppe og nede ved den konjugerte av nevneren. Vi får:

[tex](a+bi)+\frac{(4-2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}(a-bi)=(a+bi)+(1-3i)(a-bi)=(2a-3b)-3ai = (2+i)^2=3+4i[/tex]

I den første overgangen her brukte jeg at [tex](1+i)(1-i)=1^2-i^2=1+1=2[/tex] og forkortet dette mot [tex]4-2i[/tex] slik at brøken ble redusert til
[tex](2-i)(1-i)=1-3i[/tex].

Se nå på likningen vi har endt opp med:

[tex](2a-3b)-3ai = 3+4i[/tex]

Vi setter realdelen på venstresiden lik realdelen på høyresiden og får: [tex]2a-3b=3[/tex]

Gjør vi det samme med imaginærdelene får vi: [tex]-3a = 4[/tex]

Løsningen på dette likningssystemet er [tex]a=-\frac{4}{3}, b = -\frac{17}{9}[/tex], ergo må vi ha at [tex]z=-\frac{4}{3}-\frac{17}{9}i[/tex].

TUSEN TAKK!

Det var den biten hvor du skilte realdelen og imaginærdelen jeg ikke hadde gjort riktig, da jeg tok med "i" i likningen for imaginærdelen. Men nå fikk jeg den til!

Takktakktakk