Det her ble en del griseregning, så med forbehold om feil:
Den karakteristiske ligningen er [tex]r^2+2r+p=0[/tex], og bruker vi abc-formelen får vi at løsningen(e) blir:
[tex]r = \frac{-2 \pm{\sqrt{4-4p}}}{2} = \frac{-2 \pm{2\sqrt{1-p}}}{2} = -1 \pm{\sqrt{1-p}}[/tex]
Dersom p=1 har vi kun en løsning, nemlig r=-1. Da blir den homogene løsningen:
[tex]y_h = Ae^{-x}+Bxe^{-x}[/tex]
Dersom p<1 får vi de to løsningene [tex]r_1 = -1-\sqrt{1-p}, r_2 = -1+\sqrt{1-p}[/tex], slik at den homogene løsningen blir:
[tex]y_h = Ae^{r_{1}x}+Bxe^{r_{2}x} = Ae^{(-1-\sqrt{1-p})x} + Be^{(-1+\sqrt{1-p})x}[/tex]
Dersom p > 1, får vi komplekse løsninger [tex]-1 \pm {\sqrt{p-1}\cdot{i}}[/tex], og den homogene løsningen har følgende form:
[tex]y_h = A\cos{(\sqrt{p-1}x)}+B\sin{(\sqrt{p-1}x)}[/tex]
Når det gjelder partikulærløsning, gjetter vi at den har følgende form:
[tex]y_p = Ae^{-x}cos(x)+Be^{-x}sin(x)[/tex]
Deriverer vi dette en og to ganger og setter inn i diff.likningen fikk jeg til slutt at:
[tex]((p-2)b)e^{-x}\sin(x)+((p-2)a)e^{-x}\cos(x) = e^{-x}\cos(x)[/tex] dvs. [tex](p-2)b=0[/tex] og [tex](p-2)a=1[/tex].
Så lenge p ikke er 2, går dette greit. Da får vi [tex]b=0[/tex] og [tex]a=\frac{1}{p-2}[/tex], slik at en partikulær løsning blir:
[tex]y_p = \frac{1}{p-2} e^{-x}\cos(x)[/tex]
Dersom p=2 gjettet jeg på en partikulærløsning av følgende form:
[tex]y_p = Axe^{-x}cos(x)+Bxe^{-x}sin(x)[/tex]
(dvs. multipliserer den originale gjetningen med x)
Dersom jeg regnet rett, fikk jeg til slutt at vi må ha [tex]-2b=1[/tex] og [tex]-2a=0[/tex]. Følgelig blir den partikulære løsningen her:
[tex]y_p = -\frac{1}{2}e^{-x}\sin(x)[/tex]
Hvordan blir så hele løsningen?
For p=1 får vi:
[tex]y(x) = Ae^{-x}+Bxe^{-x}-e^{-x}\cos(x)[/tex].
Lar vi [tex]c = y(0) = y^\prime{(0)}[/tex], kan vi etter litt regning se at [tex]A=c+1, B=2c[/tex] slik at:
[tex]y(x) = (c+1)e^{-x}+2cxe^{-x}-e^{-x}\cos(x) = (2cx+c+1-\cos(x))e^{-x}[/tex]
Og så kan man gjøre tilsvarende regninger for resten av tilfellene (orker ikke!
)
)