matematikk.net

Hei jeg fikk riktig svar
$y=\frac {-cosx}{x^2} + \frac{c}{x^2}$
For x ulik 0.
Men nå ber oppgaven meg om å avgjøre om det fins noen løsning som er definert for alle x.

Hva menes med det? Og hvordan finne det og hvordan ser en slik løsning ut?

Det er klart at løsningen du har funnet ikke er definert for x=0. Spørsmålet er om man kan utvide løsningen til å gjelde også i x=0, på en slik måte at y(x) er kontinuerlig i punktet x=0. (og videre at y(x) er én eller flere ganger deriverbar i x=0. Hvor glatt en slik funksjon skal være kommer generelt an på hva som er spesifisert i oppgaven.)

La $y_c(x)=\frac{c-\cos x}{x^2}$.

Dersom $c\neq 1$ er det klart at $y_c(x)$ ikke kan gjøres kontinuerlig i x=0 siden y(x) vokser mot uendelig når x nærmer seg 0, så vi forkaster disse mulighetene.

La $c=1$, slik at $y(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}$.

L´Hopital gir nå at $\lim_{x\to 0}y(x) = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{2}=\frac12$.

Vi kan altså definere $y(0)=\frac12$, slik at y(x) blir kontinuerlig på hele $\mathbb{R}$.

Spørsmålet nå er om denne funksjonen vil være k ganger deriverbar i x=0 for k=1,2,3,... I så fall må de k ganger høyre- og venstrederiverte være like.

Takk for forklaringen. Men når det kommer til antall k så finner jeg bare en gang deriverbar altså,

[tex]y^\prime(0)=\frac{1}{2}^\prime[/tex]

[tex]y^\prime(0)=0[/tex]

tenker jeg i riktig retning nå? hvis ikke, kan du gi eksempel på antall k den kan deriveres?

Si at vi definerer $y(0)=\frac12$.

Den høyrederiverte i punktet x=0 er definert som $\lim_{h\to 0^+}\frac{y(h)-y(0)}{h}$, mens det venstrederiverte er $\lim_{h\to 0^-}\frac{y(0)-y(h)}{-h}$. klarer du å vise at disse er like er y(x) deriverbar i x=0. Dersom den opprinnelige diff.ligningen er av første orden, er det nok å vise at y(x) kan utvides til en deriverbar funksjon på hele $\mathbb{R}$. Dersom dette hadde vært en løsning av en andreordens diff.ligning ville man måttet vise at den andrederiverte også hadde eksistert i x=0.