Wronskian
Posted: 18/01-2014 15:31
"Show that the functions [tex]y_1(t) = t^2[/tex] and [tex]y_2(t) = t|t|[/tex] are linearly independent on [tex](-\infty, +\infty)[/tex]."
Her antok jeg at de var lineært avhengige, altså at [tex]y_2 = c \cdot y_1[/tex]:
[tex]c \cdot t^2 = t|t|[/tex]
[tex]c = \frac{|t|}{t} = sgn(t)[/tex], altså ikke en konstant (skifter fortegn når [tex]t[/tex] går fra [tex]<0[/tex] til [tex]>0[/tex]).
"Next, show that the Wronskian of the two functions is identically zero on the interval [tex](-\infty, +\infty)[/tex]. Why doesn't this contradict proposition 1.27?"
Så først:
[tex]W = 2t \cdot t|t| - t^2(|t| + t \cdot \frac{|t|}{t} ) = 0[/tex]
Dette er litt merkelig, for etter 1.27 skal [tex]W = 0[/tex] hvis og bare hvis [tex]y_1[/tex] og [tex]y_2[/tex] er lineært avhengige. Men her er de jo ikke det. Noen forslag?
Her antok jeg at de var lineært avhengige, altså at [tex]y_2 = c \cdot y_1[/tex]:
[tex]c \cdot t^2 = t|t|[/tex]
[tex]c = \frac{|t|}{t} = sgn(t)[/tex], altså ikke en konstant (skifter fortegn når [tex]t[/tex] går fra [tex]<0[/tex] til [tex]>0[/tex]).
"Next, show that the Wronskian of the two functions is identically zero on the interval [tex](-\infty, +\infty)[/tex]. Why doesn't this contradict proposition 1.27?"
Så først:
[tex]W = 2t \cdot t|t| - t^2(|t| + t \cdot \frac{|t|}{t} ) = 0[/tex]
Dette er litt merkelig, for etter 1.27 skal [tex]W = 0[/tex] hvis og bare hvis [tex]y_1[/tex] og [tex]y_2[/tex] er lineært avhengige. Men her er de jo ikke det. Noen forslag?
