matematikk.net

The z-plane region D consists of the complex numbers z = x + yi hat satisfy the given conditions. Describe (or sketch) the image R of D in the w-plane under the given function w = f(z).

arg(z) = -Pi/3
w = sqrt(z)

Jeg har prøvd å forstå hva jeg skal gjøre, men komplekse tall er helt nytt for meg, og det står ikke forklart med noen eksempler, så jeg er litt fortapt...

Spørsmålet er hva som skjer med komplekse tall når man tar kvadratrota av dem. Lar du z være representert på formen $z=re^{\theta i+2\pi n i}$ for $n\in \mathbb{Z}$, ser vi at $z^{\frac12} = \sqrt{r}e^{\frac{\theta }{2}i+\pi n i}$. Altså vil absoluttverdien endres ved at man tar kvadratrota av den, og argumentet vil halveres, samtidig som man får ekstra løsninger fra faktoren $e^{\pi n i}$ (som svarer til 90-graders rotasjoner i det komplekse plan. Avbildningen $z \to z^{\frac12}$ er altså en multifunksjon med flere verdier for hver z vi putter inn.

$Arg\, z = -\frac{\pi}{3}$ svarer til en stråle fra origo radielt ut i planet, med positiv vinkel $2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}$. Altså komplekse tall på formen $z=re^{\frac{5\pi}{3}i+2\pi n i}$. Hva skjer med disse tallene når man opphøyer i $\frac12$?

Aha, vinklene halvveres, og vinkelen i det nye planet blir -Pi/6(?) takk for hjelpen, tror jeg skjønte litt mer nå!