matematikk.net

Oppgaven dreier som om udempet svingning og er hentet fra Sinus R2-verket (oppg. 8.72)



Et lodd med massen m=0.1 kg henger og svinger uten demping i en fjær med fjærkonstant 10 N/m. Ved t=0 er loddet 0.1 m over likevektspunktet, og lodder er på vei oppover med farten 3^(1/2), dvs. kvadratroten av 3 (sqrt(3)), målt i meter per sekund.



a) Finn et uttrykk for posisjonen y til loddet etter t sekunder. Skriv y på formen asin(b(t+c))



Har prøvd å kikke på et par løsningsforslag og henger greit med helt til det står at ϕ må være lik pi/6.



Jeg får til den spesielle løsningen y=3^(1/2)/10Csin10t+0.10Dcos10t



Noen som kan hjelpe meg?



Takker for svar!!

Likevektsligningen gir:

[tex]m\ddot{u}+ku = 0[/tex]

Hvor [tex]u[/tex] er forskyvning, [tex]m[/tex] er masse og [tex]k[/tex] er fjærstivhet. Løsning av denne gir:

[tex]u(t) = C_1\cos{\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)}+C_2\sin{\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)}[/tex]

Så vet vi at [tex]u(0) = 0.1[/tex] og [tex]\dot{u}(0) = \sqrt{3}[/tex]

[tex]u(0) = C_1 = 0.1[/tex]

[tex]\dot{u}(0) = -\sin{(10\cdot 0)}+10C_2\cos{(10\cdot 0)} = \sqrt{3} \Rightarrow C_2 = 0.1\sqrt{3}[/tex]

Omskrevet til formen [tex]a\sin{(b(t+c))}[/tex] gir:

[tex]u(t) = \sqrt{C_1^2+C_2^2}\sin{\left(10(t+c)\right)} = \sqrt{0.1^2+0.1^2\cdot 3}\sin{\left(10(t+c)\right)} = 0.2\sin{\left(10(t+c)\right)}[/tex]

[tex]c = \arctan{\left(\frac{C_2}{C_1}\right)} = \arctan{\left(\frac{0.1}{0.1\sqrt{3}}\right)} = \frac{\pi}{6}[/tex]

Innsatt får vi:

[tex]u(t) = 0.2\sin{\left(10\left(t+\frac{\pi}{6}\right)\right)}[/tex]