matematikk.net

Hei

Jeg lurer på om den deriverte er definert for et randpunkt? Er den deriverte i et randpunkt alltid 0?

Mvh
Julie

Nei, i alle fall ikke på samme måte som for punkter inni definisjonsmengden, hvis jeg forstår deg riktig. Den deriverte er definert slik: [tex]f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/tex], og den grensen eksisterer bare hvis de ensidige grensene både når h går mot 0 fra venstre og høyre side av punktet er like. Hvis vi befinner oss i det høyre endepunktet av definisjonsmengden så vil det jo ikke være mulig å nærme seg fra 0 fra høyre (punktet [tex]x+h[/tex] er jo da utenfor!)

Det mest naturlige å gjøre for punkter på randen er å si at den deriverte skal være lik den ensidige grensen som er mulig å finne, altså grensen fra venstre når vi er i høyre endepunkt, og grensen fra høyre når vi er i venstre endepunkt. Altså: Hvis a er venstre endepunkt i def.mengden definerer vi at [tex]f^{\prime}(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}[/tex], og hvis b er høyre endepunkt, så er [tex]f^{\prime}(b) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(b+h) - f(a)}{h}[/tex].

Er du enig i at det gir mer mening enn å bare si at den deriverte er 0? (Husk at den deriverte bør gi oss stigningstallet til tangenten i punktet.)