matematikk.net

Hei!
Driver og regner ut den tredje siden i en trekant der to sider og den motstående vinkelen til en av disse er kjent. En trekant hvor den ene vinkelen vi kjenner er 120 grader, og hyp = 16 og den andre kateten = 10. Dette skal da gjøres ved hjelp av cosinussetningen og jeg kommer frem til riktig svar, men det jeg trenger hjelp til er hvordan man løser andregradslikningen a^2 − 2ab cos γ + b^2 − c^2 = 0. Som er en omskrivning av cosinussetningen c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos γ, med hensyn på a.

Min kilde er: http://no.wikipedia.org/wiki/Cosinussetningen der dette gjelder den tredje anvendelsen. "den tredje siden i en trekant der to sider og den motstående vinkelen til en av disse er kjent."

Han kommer da frem til:

Mens jeg etter og ha prøvd abc-formelen sitter igjen med: 2c^2 - 2b^2 * sin^2γ inne i rot tegnet.

Hvis noen kunne ha vist meg en litt "step by step" hvordan man løser den andregradslikningen for å få det riktige svaret. Så hadde jeg vært veldig takknemlig!

[tex]c^2=a^2+b^2-2ab \cdot \mathrm{cos( \gamma )}[/tex]

[tex]a^2-2ab\cdot \mathrm{cos( \gamma )}+b^2-c^2=0[/tex]

Så kan vi bruke ABC-formelen. Da vil [tex]a^2[/tex] tilsvare vår "vanlige" [tex]x^2[/tex]. [tex]-2b \mathrm{cos( \gamma )}[/tex] vil være koefisienten forran vår vanlige [tex]x[/tex], dvs b'en i ax^2+bx+c=0. Og [tex](b^2-c^2)[/tex] (som jo ikke inneholder [tex]a[/tex]) tilsvarer konstanten [tex]c[/tex]. Ser du hva vi får da? Er en del regning for å komme fram. Prøv selv før du ser fasit under! (Ofte kan du bare plotte inn info i likningen, slik at den blir mye enklere å løse, men rent algebraisk blir det slik:

[tex]a= \frac{-(-2b \mathrm{cos( \gamma )}) \pm \sqrt{(-2b \mathrm{cos( \gamma )})^2 -4 \bullet 1 \bullet (b^2-c^2)} }{2 \bullet 1}[/tex]

[tex]a= \frac{ 2b \mathrm{cos( \gamma )} \pm \sqrt{4b^2(\mathrm{cos( \gamma )})^2-4(b^2-c^2)} }{2}[/tex]

Faktoriser ut 4 under roten

[tex]a= \frac{ 2b \mathrm{cos( \gamma )} \pm \sqrt{4(b^2(\mathrm{cos( \gamma )})^2-(b^2-c^2))} }{2}[/tex]

Bruker at [tex]\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}[/tex]. Kan derfor sette roten av 4, som jo er 2, utenfor rottegnet.

[tex]a= \frac{ 2b \mathrm{cos( \gamma )} \pm 2 \sqrt{(b^2(\mathrm{cos( \gamma )})^2-(b^2-c^2)} }{2}[/tex]

[tex]a=b \mathrm{cos( \gamma )} \pm \sqrt{(b^2(\mathrm{cos( \gamma )})^2-(b^2-c^2)}[/tex]

[tex]a=b \mathrm{cos( \gamma )} \pm \sqrt{b^2 \mathrm{cos^2( \gamma )}-b^2+c^2}[/tex]

PS: skrivemåten [tex]\mathrm{cos^2( \gamma )}[/tex] betyr bare [tex]\mathrm{(cos( \gamma ))^2}[/tex]

[tex]a=b \mathrm{cos( \gamma )} \pm \sqrt{b^2 ( \mathrm{cos^2( \gamma )}-1)+c^2}[/tex]

Husk at [tex]1=\mathrm{cos^2( \gamma )}+\mathrm{sin^2( \gamma )}[/tex]. Av dette følger at [tex]\mathrm{cos^2( \gamma )}-1=-\mathrm{sin^2( \gamma )}[/tex]

[tex]a=b \mathrm{cos( \gamma )} \pm \sqrt{-b^2 \mathrm{sin^2( \gamma )}+c^2}[/tex]

[tex]a=b \mathrm{cos( \gamma )} \pm \sqrt{c^2-b^2 \mathrm{sin^2( \gamma )}}[/tex]

Takk for et så fyldig svar på så kort tid!
Det var dette punktet under, faktorisere ut 4 og sette roten av 4 utenfor rottegnet jeg hadde glemt at var mulig.

Tusen takk for hjelpen!

skf95 wrote:[tex]c^2=a^2+b^2-2ab \cdot \mathrm{cos( \gamma )}[/tex]


Faktoriser ut 4 under roten

[tex]a= \frac{ 2b \mathrm{cos( \gamma )} \pm \sqrt{4(b^2(\mathrm{cos( \gamma )})^2-(b^2-c^2))} }{2}[/tex]

Bruker at [tex]\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}[/tex]. Kan derfor sette roten av 4, som jo er 2, utenfor rottegnet.