matematikk.net

Hei, jeg klarer ikke helt å forstå hva som er forskjellen på en Horisontal Asymptote og en Grenseverdi. Er det noen som har en enkel forklaring?

En grenseverdi er et tall. Hvis vi kan få f(x) så nærme et tall L vi vil ved å la x komme nærmere og nærmere et tall a, så sier vi at f har grenseverdien L i punktet x = a.

En asymptote er derimot en linje som funksjonen kommer nærmere og nærmere, og som vi kan få funksjonen så nær vi bare vil. Horisontale og skrå asymptoter er horisontale eller skrå linjer som funksjonen nærmer seg når x går mot pluss/minus uendelig, mens vertikale asymptoter er vertikale linjer som funksjonen nærmer seg når x nærmer seg en bestemt verdi på x-aksen (ofte en verdi der funksjonen ikke er definert).

Det er en sammenheng mellom asymptoter og grenseverdier (begge har med hva som skjer med funksjonen når x nærmer seg noe), men de er altså ikke det samme. For eksempel har funksjonen [tex]f(x) = x^2[/tex] grenseverdien 4 i x = 2, men den har ingen asymptote der.

Hei, tusen takk for svar. Hvis jeg har forstått det riktig:

- Asymptotene bestemmer grensene til grafen (definisjons- og verdimengder)
- Grenseverdier forteller om formen/stigningstallet på kurven ved et gitt punkt

Asymptotene kan beskrive verdimengden til funksjonen, men de vil ikke alltid gjøre det. Det kommer litt an på hvordan funksjonen ser ut. Hvis vi tar funksjonen [tex]f(x) = e^x[/tex] så ser vi at [tex]\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0[/tex], så y = 0 er en horisontal asymptote for denne funksjonen. Siden funksjonen alltid er voksende kan vi si at denne asymptoten da må begrense hvor "lavt" funksjonen går. Men merk at en funksjon kan godt ha en horisontal asymptote og likevel ta verdier over / under denne. Et eksempel er jo [tex]f(x) = 1/x[/tex] som tar alle verdier mellom pluss og minus uendelig, utenom 0, selv om den har en horisontal asymptote.

Grenseverdier forteller ikke om form eller stigningstall. Den deriverte av en funksjon forteller noe om stigningen i et hvert punkt. Grenseverdier forteller oss bare hva funksjonen går mot når x går mot et tall (eller uendelig), det er alt.

Herlig, nå skjønte jeg det. Tusen takk for hjelpen.