matematikk.net

Mange er sikkert kjent med Zeno's paradoks om Akilles og Skilpadden som løp om kapp. Paradokset kan formuleres slik; "Hvis skilpadden starter før Akilles, kan ikke Akilles ta igjen skilpadden uansett hvor fort han løper". Dette strider i mot våre erfaringer. Argumentasjonen for påstanden kan enklest forklares gjennom et eksempel:

Skilpadden starter med $100$ m forsprang. Akilles løper $10$ ganger så fort som skilpadden. For å ta igjen skilpadden, må Akilles først løpe de $100$ m skilpadden fikk i forsprang. I mellomtiden forflytter skilpadden seg $10$ m. Avstanden dem i mellom har nå sunket fra $100$ til $10$ meter. Nå skal Akilles ta igjen de $10$ meterne. Men i løpet av tiden han bruker på dette, flytter skilpadden seg ytterligere $1$ m framover. Altså er avstanden nå [tex]1[/tex] m i mellom dem.

Slik kan det fortsette i det uendelige. Avstanden vil hele tiden minke mot null, men Akilles vil ikke kunne passere skilpadden. Dette er åpenbart feil, med mindre sansene våre ikke er til å stole på. Spørsmålet blir; hva er galt i tankegangen over? Har prøvd å google meg fram til et svar, men klarer ikke helt forstå det. Noen som kan hjelpe å med å rydde i hodet mitt?

La oss for enkelhets skyld si at Akilles bruker 10s på 100m. På de neste 10m bruker han 1 s. På neste meter bruker han 1/10 s etc.

Da vil summen $\sum_{n=0}^\infty 10/10^n$ angi hvor lang tid Akilles bruker på å nå igjen skilpadden. Siden denne geometriske rekken konvergerer, vil det kun ta et endelig antall sekund. Altså tar Zeno feil.

Feilen i tankegangen til Zeno er at han sier at det tar uendelig lang tid fordi summen er over et uendelig antall tider. Denne implikasjonen er ikke gyldig.

La oss si at Zeno sier: "Når tiden går mot uendelig, går avstanden mellom Akilles og skilpadden mot null". Dette ville altså blitt feil, fordi tiden faktisk ikke går mot null, men snarere mot det tidspunktet der Akilles passerer skilpadden? Det som går mot uendelig i Zenos tankegang, er derimot antall oppdelinger av avstanden mellom Akilles og skilpadden. Er dette riktig tenkt? Vi blir på en måte lurt til å tro at tiden går mot uendelig.

BTW: Hvis jeg har en planke på $1$ m, og deler den i to, får jeg to biter på $0,5$ m. Jeg tar den ene biten, og deler også denne i to. Så tar jeg en av de nye bitene, og deler også denne. Slik fortsetter jeg til jeg har uendelig mange biter. Summen av lengden av ale bitene vil uansett være $1$ m. Kan dette brukes som bevis for at summen av uendelig mange tall, kan være endelig?

Poenget er at selv om Akilles må ta igjen skilpadden et uendelig antall ganger, så vil tiden dette tar totalt likevel være endelig, fordi tidsintervallene minker geometrisk, slik at vi får en konvergent geometrisk rekke for totaltida. Det er denne koblingen mellom uendelig antall tidsintervaller og en endelig sum som Zeno utnytter til å villede oss.

En annen ting er at det er feil å kalle det et paradoks, da det ikke fins noe som helst paradoksalt over forklaringen.