Trippelintegral

[Guest]

Hei. Sliter med denne:

a)
Trauet i figuren har bunn gitt ved $z = y^4$ for $|y| \leq 1$, og ender i $x=0$ og $x=3$. Still opp og løs et trippelintegral for volumet av trauet.



b)
Trauet var helt fylt med vann,men så kommer noen og løfter den ene enden så vannflaten akkurat når bunnen av den ene endeflaten mens vannet står til toppen av den andre endeflaten. Hvor stor brøkdel av vannet er igjen?

Sliter med å sette opp trippelintegralet. På b) tenker jeg 1/3, med samme logikk som volumet av f.eks. en pyramide eller kjegle..?

På forhånd takk for hjelpen!

[Janhaa]

Hei. Sliter med denne:
a)Trauet i figuren har bunn gitt ved $z = y^4$ for $|y| \leq 1$, og ender i $x=0$ og $x=3$. Still opp og løs et trippelintegral for volumet av trauet.

b)Trauet var helt fylt med vann,men så kommer noen og løfter den ene enden så vannflaten akkurat når bunnen av den ene endeflaten mens vannet står til toppen av den andre endeflaten. Hvor stor brøkdel av vannet er igjen?
Sliter med å sette opp trippelintegralet. På b) tenker jeg 1/3, med samme logikk som volumet av f.eks. en pyramide eller kjegle..?
På forhånd takk for hjelpen!

[tex]z=y^2[/tex]
though

fasit

http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4105/g ... -12_lf.pdf

[Guest]

Takk for svar og tips! Tror jeg fikk til det første nå i alle fall.

$\int_{-1}^1 \int_{y^4}^1 \int_0^3 \textrm{d}x \, \textrm{d}z \, \textrm{d}y$

$\int_{-1}^1 \int_{y^4}^1 3 \, \textrm{d}z \, \textrm{d}y$

$3 \cdot \int_{-1}^1 \left(1 - y^4 \right) \, \textrm{d}y \, \, = \, \, 3 \cdot 2 - 3 \cdot \frac{2}{5} \, \, = \, \, \frac{24}{5}$

og det stemmer overens med det jeg regnet ut på annen måte. Men er det noen bedre måte å sette dette opp på? Har kuttet litt mellomregning, men synes fremdeles det ser litt "rotete" ut, for ikke å snakke om at det er tungt å skrive så mye inn i Latex.

Ser forresten løsningen på det vinklede trauet også. At det bare endrer den øverste grensen i det innerste integralet til $3z$. Men jeg klarer ikke å se logikken i det.

Jeg leser:
"Vannflaten med trauet på skrå får ligning $z = x/3$, eller $x=3z$."
Okei. Greit.
"Vannet som har rent ut svarer til det som er over denne flaten, altså $z > x/3$ eller $x < 3z$."
Jaha.. Jeg ser forsåvidt den første. $z > x/3$ altså. Og jeg skjønner jo av enkle matematiske regler at da er også $x < 3z$ gyldig. Men jeg klarer overhodet ikke å se logisk hvorfor. Noen hjelp? Bør jo gjerne skjønne den før jeg svelger den rått og skriver det i innleveringen min...

Ellers takk for svar!