Potenslikninger med ulike eksponenter?

[Johan Nes]

Heisann,

Kom bort i noe jeg var litt usikker på i dag, nemlig potenslikninger med ulike eksponenter. Er som regel vant med kun en eksponent og da tar man jo bare n-te rot på begge sider for å løse den. Tror det er første gang jeg løser en som er slik.

[tex]32*\sqrt{x}=x^{^{3}}[/tex]
[tex]32*x^{^{1/2}}=x^{^{3}}[/tex]
[tex]32=x^{3}*x^{-1/2}[/tex]
[tex]32=x^{5/2}[/tex]

Så tar jeg 5/2-rota på begge sider og finner X = 4.

Er dette rett gjort eller er det en enklere/bedre måte å gjøre det på?

[Johan Nes]

En annen likning jeg ikke greier å forstå logikken bak er denne:

[tex]\sqrt{x} = x^{2}[/tex]

Svaret er naturligvis 1. Men hvordan kommer jeg frem til det? Sier det seg selv?

[Johan Nes]

Siden jeg først er i gang, så har jeg notert meg et annet hull i kunnskapsbanken:

[tex]4^{\frac{3}{2}}[/tex]

Svaret her er 8.

Men hvordan regner jeg ut for eksempel [tex]3^{\frac{3}{2}}[/tex] uten kalkulator? Er det mulig på en enkel måte, eller må jeg da bare skrive det slik det står?

Mistenker at jeg kanskje finner dette i 1MXY-boken min, men den ligger hjemme og jeg er på skolen nå, så tenkte å prøve meg.

På forhånd takk.

[Aleks855]

En annen likning jeg ikke greier å forstå logikken bak er denne:

[tex]\sqrt{x} = x^{2}[/tex]

Svaret er naturligvis 1. Men hvordan kommer jeg frem til det? Sier det seg selv?

Svaret kan også være 0.

Jeg vet ikke av noen kjapp måte å regne det ut på, men du kan starte med å opphøye begge sider i 2.

$x^4-x = 0$

Dette kan utvides til $x(x-1)(x^2+x+1)=0$

Herfra bruker du produktregelen at $abc = 0 \Rightarrow a=0 \vee b=0 \vee c=0$

Resten tar du sikkert helt greit.

[Aleks855]

Siden jeg først er i gang, så har jeg notert meg et annet hull i kunnskapsbanken:

[tex]4^{\frac{3}{2}}[/tex]

Svaret her er 8.

Men hvordan regner jeg ut for eksempel [tex]3^{\frac{3}{2}}[/tex] uten kalkulator? Er det mulig på en enkel måte, eller må jeg da bare skrive det slik det står?

Mistenker at jeg kanskje finner dette i 1MXY-boken min, men den ligger hjemme og jeg er på skolen nå, så tenkte å prøve meg.

På forhånd takk.

$3^\frac32 = \sqrt[2]{3^3} = \sqrt{3^3} = \sqrt{27} = \sqrt9 \sqrt3 = 3\sqrt3$

Bruker at $a^{\frac bc} = (a^b)^c$ og at $a^{\frac1b} = \sqrta$

[Johan Nes]

En annen likning jeg ikke greier å forstå logikken bak er denne:

[tex]\sqrt{x} = x^{2}[/tex]

Svaret er naturligvis 1. Men hvordan kommer jeg frem til det? Sier det seg selv?

Svaret kan også være 0.

Jeg vet ikke av noen kjapp måte å regne det ut på, men du kan starte med å opphøye begge sider i 2.

$x^4-x = 0$

Dette kan utvides til $x(x-1)(x^2+x+1)=0$

Herfra bruker du produktregelen at $abc = 0 \Rightarrow a=0 \vee b=0 \vee c=0$

Resten tar du sikkert helt greit.

Resten tar jeg greit, men hvordan utvidet du uttrykket etter at du opphøyet det i 2?

Er det en oppskrift jeg kan bruke her?

[Johan Nes]

Siden jeg først er i gang, så har jeg notert meg et annet hull i kunnskapsbanken:

[tex]4^{\frac{3}{2}}[/tex]

Svaret her er 8.

Men hvordan regner jeg ut for eksempel [tex]3^{\frac{3}{2}}[/tex] uten kalkulator? Er det mulig på en enkel måte, eller må jeg da bare skrive det slik det står?

Mistenker at jeg kanskje finner dette i 1MXY-boken min, men den ligger hjemme og jeg er på skolen nå, så tenkte å prøve meg.

På forhånd takk.

$3^\frac32 = \sqrt[2]{3^3} = \sqrt{3^3} = \sqrt{27} = \sqrt9 \sqrt3 = 3\sqrt3$

Bruker at $a^{\frac bc} = (a^b)^c$ og at $a^{\frac1b} = \sqrta$

Genialt.

Var fremgangsmåten jeg brukte i første innlegg rett?

Hjertelig takk.

[Aleks855]

En annen likning jeg ikke greier å forstå logikken bak er denne:

[tex]\sqrt{x} = x^{2}[/tex]

Svaret er naturligvis 1. Men hvordan kommer jeg frem til det? Sier det seg selv?

Svaret kan også være 0.

Jeg vet ikke av noen kjapp måte å regne det ut på, men du kan starte med å opphøye begge sider i 2.

$x^4-x = 0$

Dette kan utvides til $x(x-1)(x^2+x+1)=0$

Herfra bruker du produktregelen at $abc = 0 \Rightarrow a=0 \vee b=0 \vee c=0$

Resten tar du sikkert helt greit.

Resten tar jeg greit, men hvordan utvidet du uttrykket etter at du opphøyet det i 2?

Er det en oppskrift jeg kan bruke her?

Nja. Til $x(x^3-1)$ ser du sikkert, og derfra var jeg på forhånd klar over at $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$ bare fordi jeg har regna det andre veien før, flere ganger. Så det er en ufrivillig memorisert greie.

Når det gjelder det første innlegget ditt, så mangler du løsninga x = 0.

Dette er fordi du delte på $\sqrt x$ mellom 2. og 3. linje. Når man deler på et uttrykk f(x), så mister man alle løsninger der f(x) = 0.

Hvis man ikke skal tillate seg slike divisjoner her, så blir det en hårete utregning, MEN! Det finnes en grei løsning.

Fra linje to, så sier du "deler på $\sqrt x$ på begge sider. Antar derfor at $x\neq 0$, men først sjekker jeg om det er en løsning.$

Derfra kommer du til å konkludere med at x=0 ER en løsning, så setter du det til side, før du fortsetter utregninga.

Da får du begge løsningene.

[Nebuchadnezzar]

Den kanskje rettfrem måten er polynomdivisjon som bør huskes fra R1 =)



Selv føler jeg dette blir noe tungvindt, og "tipper" heller følgende

$
x^3 - 1 = (x-1)(a x^2 + bx +c ) = a x^3 + (b - a) x^2 + (c - b)x - c
$

Denne tippingen følger selvsagt fra algebraens fundamentaltheorem
som sier at ethvert polynom med reelle eller komplekse koeffisienter
kan skrives som et produkt av deres røtter. Unnlater vi komplekse tall
så kan ethvert polynom skrives som et produkt av polynomer av
første eller andre grad =)

For at høyre og venstre side skal være like må
$a = 1$, siden koeffisienten til $x^3$ er 1
$b -a = 0$ siden $x^2$ leddet til $x^3 - 1$ er null
$c - b = 0$ og $c = 1$

Løser en likningene får en da at $a = b = c = 1$ så

$
x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x +1 )
$

Alternativt, har en og at

$$ \begin{align*}
(x-1) (x^n + x^{n-1} + \cdots + x + 1)
& = x(x^n + x^{n-1} + \cdots + x + 1) \\ & - 1 \cdot (x^n + x^{n-1} + \cdots + x + 1) \\
& = \color{green}{x^{n+1}} + (\color{red}{x^{n} + \cdots + x}) \\
& \qquad \quad \: - \: ( \color{red}{x^n + \cdots + x}) \color{green}{- 1} \\
& = \color{green}{x^{n+1} - 1}
\end{align*}$$

[Johan Nes]

Takk for svar, dere to.

Uvurderlig. Er ikke helt med, men har vært syk de siste dagene, så har bookmarket tråden. Mulig jeg må grave og spørre litt senere når jeg setter meg ned med den.