matematikk.net

Tredjegradsfunksjonen f er gitt ved: [tex]f(x)=x\cdot (x-a)^{2}[/tex] der [tex]a> 0[/tex]

a) Merk av et punkt [tex](a,0)[/tex] på x-aksen og skisser hvordan grafen til f går.

Har osåg en b) og c) oppgave som spør om å finne x-verdien til toppunkt og vendepunkt uttrykt ved a, men det trenger jeg ikke hjelp med. Bare Hvordan jeg skal tenke angående oppgave a). Jeg skal vel rett og slett først merke av et vilkårlig punkt på x-aksen?? Men hvordan jeg skal skissere videre vet jeg ikke.

Hei.

Jeg regner med du vet hvordan en tredjegradsfunksjon med positivt $x^3$-ledd ser ut sånn ca..?

Du ser med en gang av funksjonsuttrykket ditt, at funksjonen har to nullpunkter.

$f(x) = x \cdot (x-a)^2$ gir nullpunktene $x=0$ og $x=a$.

Det betyr da altså at funksjonen kommer opp gjennom origo, har et toppunkt et eller annet sted mellom $x=0$ og $x=a$, før den går ned og toucher/tangerer $x$-aksen igjen i $x=a$, hvor den snur og stiger opp til uendelig igjen.

For å finne dette toppunktet ser vi hvor den deriverte er lik 0.

$f^{\prime}(x) = x \cdot 2(x-a) + (x-a)^2 = (3x-a)(x-a)$

Her ser vi med en gang at den deriverte har nullpunkter i $x=\frac{a}{3}$ og $x=a$.
Vi vet jo at $x=a$ er et bunnpunkt, så toppunktet må være i $x=\frac{a}{3}$.

$y$-verdien der er jo da $f\left(\frac{y}{3}\right) = \frac{a}{3} \cdot \left(\frac{a}{3} - a\right)^2 = \frac{4}{27}a^3$

Funksjonen vil altså gå gjennom origo til et toppunkt i punktet $\left( \frac{a}{3}, \, \, \frac{4a^3}{27}\right)$, og ned igjen til et bunnpunkt i $\left(a, \, \, 0\right)$, før den stiger opp til uendeligheten.

Mhm, takker, jeg er ganske sikker på at jeg skjønte det.
Så sånt sett kan det være greit å gjøre de andre deloppgavene som spør om f. eks toppunkt før man tegner grafen for å få mest informasjon?

Gjest wrote:Mhm, takker, jeg er ganske sikker på at jeg skjønte det.
Så sånt sett kan det være greit å gjøre de andre deloppgavene som spør om f. eks toppunkt før man tegner grafen for å få mest informasjon?

Jo mer info du har, jo bedre kan du sketche grafen selvsagt. Jeg ser nå at de spør etter toppunktet i oppgave b), så da var det sikkert ikke meningen å gjøre a) så nøye. Tipper de bare er ute etter at du ser at det er to nullpunkter (i stedet for tre eller ett), og den generelle formen. Tipper du hadde fått rett om du bare hadde vist at grafen går opp gjennom origo, snur og toucher (a, 0) før den går opp igjen. Men selvsagt, det er aldri noen ulempe å vite så mye som mulig om funksjonen.

Realist1

Forresten, hvordan finner man her vendepunktet uttrykt ved a?
Sliter med å skjønne det siden f'(x) = (3x-a)(x-a) , og jeg må vel derivere denne igjen også sette lik null, men hvordan deriverer jeg denne?

nvm, fant ut av det