matematikk.net

Hei!

Har to oppgaver som følger:

Finn grenseverdien hvis det eksisterer:

1)

lim x går mot inf (√(n+2)-√n)) = 0

-----

Jeg brukte 3 kvadratsetning som ga meg lim x går mot inf (√(n+2)-√n)) = lim x går mot inf 2/(√(n+2)+√n)

Nå kan jeg tolke tydligere uten å stole helt på grafen at funksjonen nærmer seg 0 for n>0 V n=0

Stemmer det?

-----

Finn grenseverdien hvis den eksisterer:

2)

lim x går mot inf 1/(√(n+√n)-√n) = 2

Også her brukte jeg 3 kvadratsetning som til slutt ga meg lim x går mot inf (√(n+√n)/√n)+1 = 2

Man ser ju ved innsetning av n=2, n=5 och n=20 osv at grenseverdien går mot 2 når x går mot inf.

Men hvordan kan jeg løse disse oppgavene på en mer overbevisende måte, så å si?

Den første oppgaven har du besvart overbevisende nok.
I den andre oppgaven kan du jo til slutt skrive uttrykket som

[tex]\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}+1[/tex]

der grensen jo blir 2.

Slik jeg tolker oppgaven er det $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n}} = 2$... Er det denne oppgaven du også snakker om? Hvordan får du omskrevet uttrykket slik?

$
\frac{1}{\sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n}}
=
\frac{1}{\sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n}} \cdot \frac{ \sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n} }{ \sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n} }
=
\frac{\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n}}{\sqrt{n}}
=
\frac{\sqrt{n + \sqrt{n}} }{\sqrt{n}} + 1
$

osv. Hvor det bare ble brukt at $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$, altså konjugatsetningen.
For å fullføre argumentet og få uttrykket på formen vist ovenfor bruker
en at $\sqrt{a}/\sqrt{b} = \sqrt{a/b}$, og at $a/\sqrt{a} = \sqrt{a}$