matematikk.net

Hei.

Er knapt igang med eksamenslesningen og det dukker stadig opp nye intuitive spørsmål om konsept. Håper dette er rette stedet å ta det, ettersom det er mer "snakk" enn ren oppgaveløsning.

Når man finner en least-squares solution til et ligningssett med f.eks. to ukjente x og y, men med tre ligninger, altså et slags over-constrained sett. Hvis man tenker på dette som 3 linjer i et xy-koordinatsystem, da får man 3 linjer som til sammen får 3 skjæringspunkt. Minste-kvadraters løsning gir noen koordinater som ikke beskriver noen av disse skjæringspunktene, men hva beskriver disse koordinatene da?

[+] Skjult tekst

Jamfør tegning khanacademy video her: https://www.khanacademy.org/math/linear ... s-examples
ved tidspunkt 18:47, i koordinatsystemet der.

Må innrømme at min egen metode for å visualisere dette på er litt annerledes. Man setter opp tre ligninger med to ukjente på formen
$A
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
b_3
\end{pmatrix}
= \vec{b}
$, der $A$ er en gitt $3\times 2$-matrise med tall, og lar $\vec{a_1}$ være første kolonnevektor til $A$, og $\vec{a_2}$ andre kolonnevektor.

Systemet kan nå skrives på formen $\vec{a_1}x+\vec{a_2}y = \vec{b}$.

$\vec{a_1}$ og $\vec{a_2}$ vil nå utspenne et plan i $\mathbb{R}^3$. Dersom $\vec{b}$ ikke ligger i dette planet, vil man (til tross for at systemet ikke har løsning) kunne finne en minste kvadraters løsning x,y slik at avstanden fra $\vec{b}$ til planet utspent av $\vec{a_1}$ og $\vec{a_2}$ vil være minst mulig.

Takk skal du ha, Plutarco. Veldig grei måte å se det på!

Sliter litt med å finne komplekse eigenvektorer. Trekker fra den komplekse eigenverdien lambda fra en 2x2 matrise A, og får da 2 ligninger som begge er lik 0. Boken sier at her kan man gjøre en observasjon at siden lambda er en eigenverdi, uttrykker de to ligningene det samme forholdet mellom x1 og x2 (Gitt Ax = lambda*x), og at man kan dermed løse som et vanlig ligningssett.

Hva er det som skiller dette fra ikke-komplekse eigenverdier? Vil ikke svaret bli feil om jeg bare antar at alle ligningene uttrykker det samme forholdet med vanlige eigenverdier? Er vant med å redusere matrisen jeg får med subtraksjon av lambda, helt til det en er på row echelon form, og da kan jeg uttrykke eigenvektorene.

Føler det er voldsomt vanskelig å se seg praktiske eksempler i lineær algebra, og da blir forståelsen deretter.