$ \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab} $
Posted: 04/05-2014 18:46
Jeg ble en gang presentert et "bevis" for at [tex]1=-1[/tex]. Det gikk slik:
[tex]\sqrt{-1} = \sqrt{-1} \Rightarrow ( \sqrt{-1})^2= \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \Rightarrow -1= \sqrt{(-1) \cdot (-1)} \Rightarrow -1= \sqrt{1} \Rightarrow -1=1[/tex]
Her er det åpenbart noe feil, og jeg ble forklart at feilen lå i regelen [tex]\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}[/tex]. Den gjaldt visstnok ikke for negative [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex].
Men så kommer jeg til komplekse tall i matteboken min. Der skrives f.eks. at [tex]\sqrt{-16} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1} =4i[/tex].
Er det altså slik at formelen [tex]\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}[/tex] gjelder så lenge ikke både [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er negative? Altså at den er gyldig hvis enten [tex]a[/tex] eller [tex]b[/tex] eller ingen av dem er negative?
[tex]\sqrt{-1} = \sqrt{-1} \Rightarrow ( \sqrt{-1})^2= \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \Rightarrow -1= \sqrt{(-1) \cdot (-1)} \Rightarrow -1= \sqrt{1} \Rightarrow -1=1[/tex]
Her er det åpenbart noe feil, og jeg ble forklart at feilen lå i regelen [tex]\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}[/tex]. Den gjaldt visstnok ikke for negative [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex].
Men så kommer jeg til komplekse tall i matteboken min. Der skrives f.eks. at [tex]\sqrt{-16} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1} =4i[/tex].
Er det altså slik at formelen [tex]\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}[/tex] gjelder så lenge ikke både [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er negative? Altså at den er gyldig hvis enten [tex]a[/tex] eller [tex]b[/tex] eller ingen av dem er negative?