matematikk.net

Hei!

Regner på gamle eksamensoppgaver og kom over en oppgave jeg sliter med, denne ligger det ikke ut noe løsningsforslag på. Kan noen hjelpe meg?

Beregn lim (x->0) (e^x -1-x)/x^2 ved å ta utgangspunkt i rekkeutviklingen for e^x
(Oppgaven kan også løses ved l'Hospitals regel, men det vil ikke gi uttelling her.)

Kjapt svar ønskes! På forhånd tusen takk!

mattefrik wrote:

Uten navn.jpg

[tex]\large\lim_{x\to 0} \left(\frac{1+x-1-x+{x^2\over 2}+{x^3\over 6}+...+{x^n\over n!}}{x^2}\right)={1\over 2}[/tex]

men hvorfor blir det = 1/2 ? Med x^2 i nevneren?

mattefrik wrote:men hvorfor blir det = 1/2 ? Med x^2 i nevneren?

Taylor-rekkeutvikling av exp(x):

[tex]\lim_{x \to 0}\,\,\left((0,5x^2/x^2)\,+\,(x^3/6x^2)+... \right)[/tex]

[tex]\lim_{x \to 0}\,\,\left(0,5\,+\,(x/6)+... \right)=0,5[/tex]

Jeg forstår ikke dette, noen som kan forklare?

$ \large
\begin{align*}
\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1-x}{x^2}
& = \lim_{x\to 0}\large \left(\frac{-1-x + \bigl[x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots+\frac{x^n}{n!} \bigr] }{x^2}\right) \\
& = \lim_{x\to 0} \large \left(\frac{{x^2\over 2}+{x^3\over 6}+...+{x^n\over n!}}{x^2}\right) \\
& = \lim_{x\to 0} \left( \frac{1}{2}+\frac{x}{6}+ \cdots+ \frac{x^{n-2}}{n!} \right)
\end{align*}
$