matematikk.net

Hei,
prøver å sette opp en differensiallikning:

Oppgaven 6:
Peranema trichophorum er en art encellede alger som beveger seg ved hjelp av to flageller.En av dem peker forover i bevegelsesreningen, og vi skal konsentrere oss om lengden av denne forreste flagellen. Vi skal stille opp en modell for veksten. Vi lar tiden t=0 være tidspunktet da algen ble skilt fra modercellen. Flagellens lengde var da 47 micrometer. Ferdig utvokst er flagellens lengde L*=63 micrometer. La L være flagellens lengde ved tiden t . vi antar at vekstraten til L er proporsjonal med differansen L*-L. Målinger i laboratoriet har vist at proporsjonalitetskonstanten kan settes lik 0.087 når tiden måles i timer.

a) Still opp en differensialligning som L må tilfredsstille.

b) Finn en formel for L som funksjon av tiden.

Prøver å løse a) og fikk:

[tex]L^\prime(t) +0.087L(t)=0.0000063 e^{0.0000047t}[/tex]

Er det riktig , hvis ikke hvordan blir det riktig?

på b) skal man vel bare finne L(t) lik?

For å sette opp ligningen behøver vi bare opplysningen "vi antar at vekstraten til L er proporsjonal med differansen L*-L. Målinger i laboratoriet har vist at proporsjonalitetskonstanten kan settes lik 0.087 når tiden måles i timer."

Oversatt til matematisk notasjon blir dette

$\frac{dL}{dt}=-k(L^*-L)=-0.087(63-L)$, der $k$ er proposjonalitetskonstanten og L har dimensjon [mm]. Startbetingelsen er L(0)=47.

Ligningen er separabel, så $\int \frac{1}{63-L}\,dL = \int -0.087 \,dt$. Dermed er $63-L=Ae^{-0.087t}$, ekvivalent med $L(t)=63-Ae^{-0.087t}$. A bestemmes fra startbetingelsen, så $L(0)=63-A=47$, og det følger at $A=63-47=16$. Løsningen for L er derfor $L(t)=63-16e^{-0.087t}$.

Skjønner, takk skal du ha for hjelpen!