matematikk.net

[tex]\large xy(1+xy^2)y'=1[/tex]

Janhaa wrote:[tex]\large xy(1+xy^2)y'=1[/tex]

$z=1+xy^2$

$\frac{z-1}{x}=y^2$

$(y^2)'=\frac{z'}{x}-\frac{z-1}{x^2}=2yy'$

$xyy'=\frac12 z'-\frac{1}{2x}(z-1)$

$z( xz'-(z-1))=2x$

Variabelskifte
$x=e^u$

gir

$z(z'-(z-1))=2e^u$

$zz'=z^2-z+2e^u$

Altså enda en Abelligning http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0126.pdf

Har ingen erfaringer med mer avanserte difflikninger, men er [tex]\frac{dy}{dx} \frac{dx}{dy} =1[/tex]? Kunne man i så fall brukte det i diffen over til omskrive den til [tex]xy(1+xy^2)= \frac{dx}{dy}[/tex] (om det fører noe vei er nå en annen sak ...)? Mener å huske at læreren min sa at når vi løser separable difflikninger ved å skrive [tex]y'= \frac{dy}{dx}[/tex] og deretter stryke [tex]dx[/tex]-ene så gjør vi en "litt tvilsom forkortning vi ikke forstår men som vi likevel godtar". Hva er egentlig tvilsomt, stemmer det ikke formelt sett at [tex]\frac{dy}{dx} dx =dy[/tex]?

plutarco wrote:

Janhaa wrote:[tex]\large xy(1+xy^2)y'=1[/tex]

$z=1+xy^2$
$\frac{z-1}{x}=y^2$
$(y^2)'=\frac{z'}{x}-\frac{z-1}{x^2}=2yy'$
$xyy'=\frac12 z'-\frac{1}{2x}(z-1)$
$z( xz'-(z-1))=2x$
Variabelskifte
$x=e^u$
gir
$z(z'-(z-1))=2e^u$
$zz'=z^2-z+2e^u$
Altså enda en Abelligning http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0126.pdf

thanks plutarco.

Har lest ett par biografier om Abel siste tida og der nevnes jo en del om hva han sysla med, men faktisk ikke disse Abel DE !