matematikk.net

Hei og ho! Driver på med bevis her (R1) og trenger hjelp med følgende oppgave:

Trekanttallene er definert ved at trekanttall nummer n er gitt ved

[tex]a_{n}=\frac{n(n+1)}{2}[/tex] , [tex]n\in N[/tex] og [tex]n\geq 1[/tex]

Vis at summen av to trekanttall som ligger ved siden av hverandre, [tex]a_{n}[/tex] og [tex]a(n+1)[/tex]
alltid er et kvadrattall.

Det jeg skjønner med engang, som jeg tror er riktig, er kvadrattall er gitt ved [tex]n^{2}[/tex]
og at jeg skal summere [tex]a_{n}[/tex] og [tex]a(n+1)[/tex] og vise at det er lik [tex]n^{2}[/tex].

Problemet mitt, er da hvilke trekanttall skal jeg summere?
Jeg regner med at det første er dermed [tex]a_{n}=\frac{n(n+1)}{2}[/tex] , men hvilket er det etterfølgende? De nevner jo a(n+1).

Kvadrattallene kan skrives som [tex]n^2[/tex], ja. Men er du enig at vi da også kunne sagt at kvadrattallene kan skrives som [tex](n+1)^2[/tex]? [tex](n+1)[/tex] er jo også et tall, som som vi så kvadrerer. Videre har du et uttrykk for trekanttall nummer [tex]n[/tex]. Vil du ha et uttrykk for trekanttallet [tex](n+1)[/tex], erstatter du alle steder i formelen der det står [tex]n[/tex] med [tex](n+1)[/tex]. Kommer du i mål med disse to hintene?

Jeg gjorde følgende:

[tex]a_{n}+a_{n+1}[/tex]

= [tex]\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+1+1)}{2}[/tex]

= [tex]\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}[/tex]

= [tex]\frac{n^{2}+n+n^{2}+2n+n+2}{2}[/tex]

= [tex]\frac{2n^{2}+4n+2}{2}[/tex]

= [tex]\frac{2(n^{2}+2n+1)}{2}[/tex]

= [tex]n^{2}+2n+1[/tex]

= [tex](n+1)(n+1)=(n+1)^{2}[/tex]

Riktig eller??

Veldig bra (Bare sleng med en forklaring på hvorfor [tex](n+1)^2[/tex] er et kvadrattall)