matematikk.net

Her er screenshot av oppgaven, link:
http://gyazo.com/be6e39d42af4eb23f056c92db3e1ba05

Jeg har klart alt bortsett fra e), den siste oppgava. Jeg har tatt i bruk alt jeg klarer å komme på, tegnet figurer etc, men klarer/skjønner virkelig ikke hva jeg skal gjøre.

Kan dere være så snill og hjelpe meg? Jeg er stort sett glad og god i geometr, men klarer virkelig ikke å koble noe til oppgaven.

Fasiten sier: [tex]\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+2}}[/tex]

Er øving til prøve. Har til og med konferert med flere venner, men vi kan virkelig ikke se løsningen.

Hjelp, please

Slik du presenterer oppgaven, blir så vidt jeg kan se ingen lengder oppgitt. Dette framkommer kanskje i deloppgave a) (den er nemlig ikke på bildet)? Slik vi får se oppgaven nå, kan vi bare finne avstanden mellom sentrene i forhold til en annen lengde.

Beklager så meget, trodde ikke a) hadde noe å si

Her: http://gyazo.com/19e873d62fb607661581833c7c2f1103

At den må ligge på Appolonius sirkel, brukte jeg at vinkel = 90-v = 90 - 60 = 30 grader.

Hjalp det noe eller?

Jeg har et løsningsforslag, men sliter med å konvertere det til eksakte verdier.

EDIT: Oppgave d) er egentlig oppgave e).
Jeg har fokusert på trekanten laget av punktene A, B og Sentrum i den innskrevne sirkelen.
- Der finner jeg vinklene RAB og ABR ved at de er halveringslinjene.
- Så bruker jeg vinklene og lengden AB til å finne høyden over AB og lengden i x-retning fra A som vil være koordinatene til sentrum i den innskrevne sirkelen (hvis A = (0,0))
- Sentrum til den store sirkelen har x-koordinat AB/2 = 3 p.g.a at ABS er en likebeint trekant.
- y-koordinatet finner jeg ved radiusen til sirkelen multiplisert med sin 30 = 1.732
- Resten er vektoregning

Her er så langt jeg har kommet med eksakte verdier

Setter først opp verdiene som er regnet ut i tidligere deloppgaver som er nødvendig for denne utregningen.

[tex]r=\frac{2\sqrt3}{1+\sqrt3}=3-\sqrt3[/tex]

[tex]AC = 4\sqrt3[/tex]

Fremgangsmåten er som følger. Trekk først normalen fra O ned på siden AC og kall dette punktet D. Da ser vi at [tex]\triangle{DOS}[/tex]
inneholder distansen vi er ute etter, [tex]OS[/tex]. [tex]OD=r[/tex] så om vi kan finne [tex]SD[/tex] kan vi benytte pytagoras for å finne [tex]OS[/tex].

Så den første oppgaven er altså å finne [tex]SD[/tex]. Merk at siden [tex]AC[/tex] er diameter i sirkelen med sentrum i S så er
[tex]SC=\frac12 AC=2\sqrt3[/tex]. Per definisjon så ligger sentrum for den innskrevne sirkelen i skjæringspunktet til halveringslinjene
fra hjørnene. Dermed er [tex]\angle{OCD}=30[/tex]. Videre har vi at [tex]CD=\frac{r}{\tan{30}}=3\sqrt3-3[/tex] og
[tex]SD=SC-CD=2\sqrt3-(3\sqrt3-3)=3-\sqrt3[/tex].

Til slutt har vi da ved pytagoras at [tex]OS=\sqrt{(3-\sqrt3)^2+(3-\sqrt3)^2}=\sqrt2(3-\sqrt3)=3\sqrt2-\sqrt6[/tex].

Dette svaret er ekvivalent med svaret fasiten gir, som kan vises på følgende måte.

[tex]\frac{2\sqrt3}{\sqrt{\sqrt3+2}}=\frac{2\sqrt6}{\sqrt{4+2\sqrt3}}=\frac{2\sqrt6}{\sqrt{(1+\sqrt3)^2}}=\frac{2\sqrt6}{1+\sqrt3}[/tex]

[tex]=\frac{2\sqrt6 (\sqrt3-1)}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}=\frac{6\sqrt2-2\sqrt6}2=3\sqrt2-\sqrt6[/tex]

I første overgang ganger jeg teller og nevner med [tex]\sqrt2[/tex] og videre er trikset å innse at [tex](1+\sqrt3)^2=4+2\sqrt3[/tex].

Merk at dette er en fullstendig geometrisk løsning, i motsetning til fasiten som legger opp til en løsning ved koordinatgeometri.

Edit.

Bare lurer på, i siste ledd, når du bruker Pytagoras til å finne OS, hvilke sider bruker du da? Ettersom du har at begge de to sidene du bruker er like lange.

For, når jeg regner siste ledd i Pytagoras på kalkulator , får jeg ikke fasitsvaret.

Jeg bruker [tex]OD=r[/tex] og [tex]SD[/tex]. Altså [tex]OD^2+SD^2=OS^2[/tex]. [tex]SD[/tex] viste seg å være lik r etter utregning.

jeg gjorde følgende
http://gyazo.com/1b7be236dad548dda364fd90b200f5ae

hvis jeg bruker (3-roten av 3)^2 2 ganger får jeg jo ikke fasit svar? du bruker i Pytagoras leddet det samme tallet to ganger, for radiusen har vi funnet tidligere i oppgaven som er det andre leddet under mitt rottegn i screenshooten.

Saken er den at

[tex]\frac{12\sqrt3}{6+6\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{1+\sqrt3}=\frac{2\sqrt3(\sqrt3-1)}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}=\frac{6-2\sqrt3}2=3-\sqrt3[/tex]

Altså uttrykket for radiusen kan også skrives som [tex]3-\sqrt3[/tex], så fasitsvaret kommer frem uansett.

Jeg valgte å bruke uttrykket [tex]r=3-\sqrt3[/tex] fremfor [tex]r=\frac{12\sqrt3}{6+6\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{1+\sqrt3}[/tex] siden
dette gir mye enklere regning, men for å komme frem til riktig svar spiller det ingen rolle hvilken av dem som brukes.