matematikk.net

Jeg sliter med å holde tunga beint i munnen når det gjelder brøk, kvadratrot, tredjerot, osv. Kan noen se over dette og hjelpe meg litt?

La funksjonen f være gitt ved

[tex]f(x) = \sqrt[3]{x}[/tex]

a) Finn f'(x).

[tex]f'(x) = \frac{1}{3}x^{\frac{-1}{3}}[/tex]

[tex]= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^\frac{1}{3}}[/tex]

[tex]= \frac{1}{3\sqrt[3]{x}}[/tex]

Er dette korrekt framgangsmåte?

b) Finn vekstfarten når x=1.

[tex]f'(1) = \frac{1}{3\sqrt[3]{1}}[/tex]

[tex]= \frac{1}{3}[/tex]

c) Finn likningen for tangenten i punktet (1,f(1)).

[tex]f (1) = \sqrt[3]{1} = 1[/tex]

Tangeringspunktet er [tex](1,1)[/tex]

[tex]y - y_{0} = a \cdot (x-x_{0})[/tex]

[tex]y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x-1)[/tex]

[tex]y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}[/tex]

d) Et annet punkt på grafen til f har en tangent med det samme stigningstallet som tangenten i oppgave c. Finn likningen for denne tangenten?

Her stopper det opp for meg. Hvordan går jeg fram her? Noen som kan forklare det på en litt enkel måte?

Du har ikke derivert helt riktig.

[tex]f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{\frac13}[/tex]

[tex]f'(x)=\frac13x^{\frac13-1}=\frac13x^{-\frac23}=\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}[/tex]

Dette forandrer ikke [tex]f'(1)[/tex], så de påfølgende oppgavene har du gjort riktig.

Når det kommer til oppgave d) så ønsker vi å finne et annet punkt på grafen slik at den deriverte i dette punktet
er den samme som [tex]f'(1)[/tex] (da vil jo tangenten i dette punktet ha samme stigningstall som tangenten i [tex](1,1)[/tex]).

Dette tilsvarer å løse ligningen [tex]f'(x)=f'(1)=\frac13[/tex]. Her er jo [tex]x=1[/tex] selvfølgelig en løsning så oppgaven blir å finne
den andre løsningen.

Hah, den der deriveringa var en slurvefeil!

Jeg sliter litt med å løse den likningen, har du mulighet til å vise meg?

Vi ønsker altså å løse ligningen

[tex]\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}=\frac13[/tex]

Multipliserer begge sider av ligningen med [tex]3\sqrt[3]{x^2}[/tex] (dette er lovlig siden x=0 ikke er noe løsning)

[tex]1=\sqrt[3]{x^2}[/tex]

Opphøyer begge sider av ligningen i tredje

[tex]1=x^2\Rightarrow x=\pm1[/tex].

Det er altså [tex]x=-1[/tex] som er løsningen vi er ute etter.

Har ikke tatt med så mange mellomregninger her, så hvis noe skulle være uklart er det bare å si ifra.