matematikk.net

Hei lurte på om noen kunne forklare hvorfor svaret blir som det bli på oppgave 6, del 2 2009 matte eksamen.

Oppgaven er slik: Finn en formel for arealet av skomakerkniven til Arkimedes (det blå området).
Bruk at r er radius i hver av de små halvsirklene.

Å LØSNINGS FORSLAGET TIL DENNE OPPGAVEN ER SLIKT:

c) En generell formel for arealet: Setter radius i de små sirklene lik r. Radius i den store sirkelen blir da 2r : A=π(2r) i andre delt på 2 - 2πr i andre delt på 2 = 2(2πr i andre - πr i andre) delt på 2 =πr i andre

Er det noen som kan forklare hvorfor fomelen blir slik?

Vel, først og fremt del figuren opp i flere deler.

Vi vet at det blå området er begrenset av:
-en halvsirkel fra A til B, med sentrum i C
-en halvsirkel fra A til C og en halvsirkel fra B til C

Altså hvis vi finner arealet av den store blå halvsirkelen og trekker fra arealet fra de to mindre halvsirkelene kommer vi frem til svaret.

Arealet av den store blå halvsirkelen:

[tex]A_{Stor} = \frac{\pi \cdot (2r)^{2}}{2}[/tex]


Men, dette svaret er for stort, fordi den er også avgrenset av en en halvsirkel fra A til C og en halvsirkel fra B til C. Så vi må trekke fra arealet til de små halvsirkelene:

[tex]A_{Smaa} = \frac{\pi \cdot r^{2}}{2} + \frac{\pi \cdot r^{2}}{2} =\pi \cdot r^{2}[/tex]

Det totale arealet vil da bli
[tex]A_{Total} = \frac{\pi (2r)^{2}}{2} - \pi r^{2} =\frac{4\pi r^{2}}{2} - \frac{2\pi r^{2}}{2}= \pi r^{2}[/tex]