matematikk.net

Hei, hvor mange ganger må jeg delvis integrere denne for å få riktig svar?

[tex]\int 10 sin ({\frac{ \pi t}{6}}) e^{\frac{t}{2}} dt[/tex]

For å integrere $\displaystyle\int 10 \sin \left( \frac{πt}{6}\right) e^{\frac{t}{2}}\space\mathrm{d}t$ må du gjennom to delvise integrasjoner. Den første gangen vil du ende opp med et uttrykk med et integral av en konstant multiplisert med $\displaystyle \cos \left( \frac{πt}{6} \right)e^{\frac{t}{2}}$, og den andre gangen vil du ende opp med et integral av det du originalt startet med. Derfor blir det mulig å lage en likning hvor det originale integralet kan kalles $\displaystyle I$, og hvor svaret kan finnes ved å skrive $\displaystyle I =$ svaret.

LØSNINGSFORSLAG

$\displaystyle \int 10 \sin \left( \frac{πt}{6}\right) e^{\frac{t}{2}}\space\mathrm{d}t$
$\displaystyle = 10 \int \sin \left( \frac{πt}{6}\right) e^{\frac{t}{2}}\space\mathrm{d}t$
$\displaystyle = 10\left( \sin \left( \frac{πt}{6}\right) \cdot 2e^{\frac{t}{2}} - \int \frac{π}{6}\cos \left( \frac{πt}{6}\right) \cdot 2e^{\frac{t}{2}}\space\mathrm{d}t\right) + C_1$
$\displaystyle = 20\left( \sin \left(\frac{πt}{6}\right)e^{\frac{t}{2}} - \frac{π}{6}\left(\cos \left(\frac{πt}{6}\right)\cdot 2e^{\frac{t}{2}} - \int \frac{π}{6} \left(-\sin \left( \frac{πt}{6}\right)\right)\cdot 2e^{\frac{t}{2}}\space\mathrm{d}t\right)\right) + C_1$
$\displaystyle = 20\left( \sin \left(\frac{πt}{6}\right)e^{\frac{t}{2}} - \frac{π}{3}\left( \cos \left(\frac{πt}{6}\right)e^{\frac{t}{2}} + \frac{π}{6} \int \sin \left(\frac{πt}{6}\right)e^{\frac{t}{2}}\space\mathrm{d}t\right)\right) + C_1$

Vi ser altså at
$\displaystyle \int 10 \sin \left( \frac{πt}{6}\right) e^{\frac{t}{2}}\space\mathrm{d}t = 20\left( \sin \left(\frac{πt}{6}\right)e^{\frac{t}{2}} - \frac{π}{3}\left( \cos \left(\frac{πt}{6}\right)e^{\frac{t}{2}} + \frac{π}{6} \int \sin \left(\frac{πt}{6}\right)e^{\frac{t}{2}}\space\mathrm{d}t\right)\right) + C_1$

$\displaystyle\Rightarrow 10 \int \sin \left( \frac{πt}{6}\right) e^{\frac{t}{2}}\space\mathrm{d}t = 20\left( \sin \left(\frac{πt}{6}\right)e^{\frac{t}{2}} - \frac{π}{3}\left( \cos \left(\frac{πt}{6}\right)e^{\frac{t}{2}} + \frac{π}{6} \int \sin \left(\frac{πt}{6}\right)e^{\frac{t}{2}}\space\mathrm{d}t\right)\right) + C_1$

La $\displaystyle I = \int \sin \left( \frac{πt}{6}\right)e^{\frac{t}{2}}\space\mathrm{d}t$

$\displaystyle \Rightarrow 10I = 20\left( \sin \left(\frac{πt}{6}\right)e^{\frac{t}{2}} - \frac{π}{3}\left( \cos \left(\frac{πt}{6}\right)e^{\frac{t}{2}} + \frac{π}{6} I\right)\right) + C_1$

$\displaystyle \Rightarrow 10I = 20\left( \sin \left( \frac{πt}{6}\right)e^{\frac{t}{2}} - \frac{π}{3}\cos \left(\frac{πt}{6}\right)e^{\frac{t}{2}} - \frac{π^2}{18}I\right) + C_1$

$\displaystyle \Rightarrow 10I = 20\sin\left(\frac{πt}{6}\right)e^{\frac{t}{2}} - \frac{20π}{3} \cos\left(\frac{πt}{6}\right)e^{\frac{t}{2}} - \frac{10π^2}{9}I + C_1$

$\displaystyle \Rightarrow \left(10 + \frac{10π^2}{9}\right)I = 20\sin \left(\frac{πt}{6}\right)e^{\frac{t}{2}} - \frac{20π}{3} \cos\left(\frac{πt}{6}\right)e^{\frac{t}{2}} + C_1$

$\displaystyle \Rightarrow I = 9\cdot20\frac{\sin \left(\frac{πt}{6}\right) - \frac{π}{3} \cos\left(\frac{πt}{6}\right)}{90 + 10π^2}e^{\frac{t}{2}} + \frac{9 \cdot C_1}{90 + 10π^2}$

La $\displaystyle \frac{9 \cdot C_1}{90+10π^2} = C$

$\displaystyle \Rightarrow I = \frac{18}{9+π^2}\left(\sin \left(\frac{πt}{6}\right) - \frac{π}{3}\cos\left(\frac{πt}{6}\right)\right)e^{\frac{t}{2}} + C$

$\displaystyle \Rightarrow 10I = \frac{180}{9+π^2}\left(\sin \left(\frac{πt}{6}\right) - \frac{π}{3}\cos\left(\frac{πt}{6}\right)\right)e^{\frac{t}{2}} + C$

$\displaystyle \Rightarrow \int 10 \sin \left( \frac{πt}{6}\right) e^{\frac{t}{2}}\space\mathrm{d}t = \frac{180}{9+π^2}\left(\sin \left(\frac{πt}{6}\right) - \frac{π}{3}\cos\left(\frac{πt}{6}\right)\right)e^{\frac{t}{2}} + C$

Jeg er helt enig i regningen ovenfor, men syntes det mer generelle integralet er noe enklere å løse

Tar først for oss første integral, og kaller det for $I$. En delvis integrasjon gir da

$ \hspace{1cm}
I =\int e^{\alpha x} \sin \beta x \mathrm{d}x
=\frac{1}{\alpha} e^{\alpha x} \sin \beta x - \int \frac{e^{\alpha x}}{\alpha} \beta \cos \beta x \mathrm{d}x
$

Der $u = \sin \beta x$ og $v = e^{\alpha x}/\alpha$. Ved å bruke delvis integrasjon atter en gang blir nå integralet

$ \hspace{1cm}
I =\frac{1}{\alpha} e^{\alpha x} \sin \beta x
- \frac{\beta}{\alpha} \left[ \frac{e^{\alpha x}}{\alpha} \cos \beta x
+ \frac{\beta}{\alpha}\int e^{\alpha x} \sin \beta x \mathrm{d}x \right]
$

Hvor konstanten $\beta/\alpha$ ble satt utenfor, $u=\cos \beta x$ og $v = e^{\alpha x}/\alpha$.
Legg merke til at en ender opp med det originalet integralet $I$ på høyre side av likningen.
Ved å skrive ut og forenkle

$ \hspace{1cm}
I = \frac{1}{\alpha} e^{\alpha x} \sin \beta x
- \frac{\beta}{\alpha^2} e^{\alpha x} \cos \beta x
- \frac{\beta^2}{\alpha^2} I
$

Ved å gange begge sider med $\alpha^2$ og legge til $\beta^2 I$ på begge sider fås

$ \hspace{1cm}
(\alpha^2 + \beta^2) I = e^{\alpha x} \alpha \sin \beta x - e^{\alpha x} \beta \cos \beta x
$

Deles begge sider på $\alpha^2 + \beta^2$ får en som ønsket at

$ \hspace{1cm}
\int e^{\alpha x} \sin \beta x \, \mathrm{d}x
= \frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2+\beta^2}
\bigl[ \alpha \sin \beta x - \beta \cos \beta x \bigr] + \mathcal{C}
$

Hentet fra side 47 her et noe enklere bevis er vist i starten av delen om kompleks analyse =)

Nebuchadnezzar wrote: Hentet fra side 47 her et noe enklere bevis er vist i starten av delen om kompleks analyse =)

Det integralkompendiet ditt er jo helt sinnssykt. Imponerende innsats! Interessante Putnam-oppgaver du har funnet.

Ikke for å kapre tråden ,dog føler jeg den er blitt besvart.

Takk for komplementet, betyr mye! Har mange flere spennende putnam oppgaver som
skal inn i del 3. Har begynt så smått å lese reell analyse, og er mye spennende der. Selv
om dokumentet er laangt i fra ferdig. Del 2 begynner å bli bra (70%) mens Del 3 trengs en total
overhaling, dårlig språk og lavt matematisk nivå (50%). Samt Del 1 må påbegynnes (5%). + lage engelsk utgave

Dokumentet er mest en samling av ulike integrasjonsteknikker, med problemer for
å lære leseren å anvende teknikkene. Så hovedfokuset ligger på oppgavene.
De er håndplukket fra hundrevis av integraler, og er de mest interessante oppgavene
jeg har kommet over. Skulle gjerne brukt mer tid på å skrive, men nå er det sånn jeg
fortsatt tar utdanning, og da er det dessverre knapt med plass =/ Trenger også å finne
noen som kan korrekturlese når ting begynner å bli bra, uten at jeg vet hvem det kan være :p

Jeg kan godt korrekturlese når det blir aktuelt. Rettskriving er en av mine sterke sider.

Dette hadde jeg ikke forventet skulle interessere så mange ulikt!

Takk skal dere alle ha , flott innsats!