matematikk.net

Hei. Jeg henger forsåvidt greit med på buelengden på parametriserte kurver. Nå leser jeg i boken at man kan se på en funksjon som $\vec r = x \vec i + f(x) \vec j$, noe som jo er greit. Dermed $\vec v = \vec i + f'(x) \vec j$, og dermed $ds = \sqrt{1 + \left( f'(x) \right)^2} dx$

Okay, so far so good. Nå tenkte jeg å teste om jeg kommer frem til riktig svar. Som eksempel valgte jeg meg funksjonen $f(x) = 4x - x^2$, og prøve å finne buelengden for $x \in [0,4]$.

$ds = \sqrt{1 + (4-2x)^2}dx = \sqrt{4x^2 - 16x + 17}dx$

$s = \int_0^4 \sqrt{4x^2 - 16x + 17} dx$

Men her stopper det. Får ikke til dette integralet. Har jeg gjort rett så langt? Kan noen hjelpe videre?

På forhånd takk!

Tanken her er nok at du skal bla opp i formelboken din for å bestemme integralet. Det du har gjort ser helt rett ut.
Ønsker du derimot å bestemme buelengden finnes det flere fremgangsmåter. Legg for eksempel merke til at

$ \hspace{1cm}
4x^2 - 16x + 17 = 4(x-2)^2+1
$

Dermed kan integralet ditt løses via substitusjonen $x - 2 \mapsto \frac{1}{2} \tan y$, så

$
\int_0^4 \sqrt{ 4(x-2)^2+1 } \,\mathrm{d}x
= \frac{1}{2} \int_{-\arctan(4)}^{\arctan(4)} (\sec y)^3 \,\mathrm{d}y
= \int_{0}^{\arctan(4)} (\sec y)^3 \,\mathrm{d}y
$

På grunn av symmetri. Det siste integralet kan løses ved hjelp av delvis integrasjon. Noe keitete
men det ordner seg. Her er $1/\cos x = \sec x$.

Det finnes ulike måter å løse slike problemer på, dersom funksjonen din hadde hatt en fin invers, kunne du heller ha funnet buelengden av inversen.
På grunn av symmetrien til figuren din, så har funksjonen en entydig invers på $[0,2]$ så

$\hspace{1cm}
x(y) = 2+\sqrt{4-y}
$

Ved å sette inn får vi som før at

$ \hspace{1cm}
2 \int_0^4 \sqrt{ 1 + x'(y)^2} = \int_0^4 \sqrt{ \frac{4y - 17}{y - 4} } \mathrm{d}y
$

Dette kan løses ved å sette $u^2 = (4y-17)/(y-4)$ uten at det gjør ting spesielt mye penere.