matematikk.net

Oppgaven lyder;

Et sylinderformet sementrør er 2m langt og har indre radius 0.5m. Tykkelsen av sementen er 0.05m. Bruk teknikken i eksempel 6.1.8 til å anslå volumet av sementen.

Teknikken det gjelder baseres på følgende setning:



Eksemplet som nevnes er dette:



Jeg er ikke helt sikkert på hvordan jeg skal gå frem her. Hvilken variabel er det jeg skal bruke?

Jeg har prøvd å bruke ytre radius $r_y$ som variabel. Forsøket kom så langt som å se at $V(r_y) = \pi (r_y^2-r_i^2)l$ der $r_i$ er indre radius, og $l$ er lengda av sylinderet.

Dersom $r_y$ får et lite tillegg $h$ så fås $V(r_y+h)-V(r_y)$ som ved setning 6.1.7 kan skrives som $V(r_y) + V'(r_y)h + \eta(h)h$. Siste ledd vil gå mot null, men jeg roter meg likevel helt bort.

Noen som skjønner poenget her?

Det setningen sier er at

$V(y_{ytre})-V(y_{indre})\approx hV'(y_{indre})$ er en første ordens approksimasjon.

Poenget er at det generelt er lettere å beregne høyresida enn venstre.

Den vesentlige observasjonen i eksempelet er at den eksakte differansen samsvarer med approksimasjonen i setningen opp til første orden i h, dvs. når vi ignorerer alle ledd med h opphøyd i potenser større enn 1.

blir det ikke:

[tex]V=\pi r^2l[/tex]

Metode 1:

[tex]V(r+d)-V(r)=2\pi r d l + \pi d^2 l \approx 0,33[/tex]

der d er dybden
====
====

Metode 2

[tex]V ' (r)\cdot d = 2\pi r l d = 0,1\pi[/tex]

Janhaa wrote: Metode 2

[tex]V ' (r)\cdot d = 2\pi r l d = 0,1\pi[/tex]

Kan du utdype litt her? Er $r$ indre radius? Og er $d$ tykkelsen på sementen? Og var $V(r) = \pi r^2l$? For i så fall er vel det volumet av hele sylinderet, og ikke bare av sementen? Men ser du får riktig svar...

Jeg roter meg helt bort ved å prøve å finne en V(r) med r som indre radius.

Her er mitt seneste forsøk: http://i.imgur.com/SZQ70bO.png

Ser jeg mangler en faktor på $0.5m$ som tilfeldigvis tilsvarer radien, så har jeg slurva?

Aleks855 wrote:

Janhaa wrote: Metode 2

[tex]V ' (r)\cdot d = 2\pi r l d = 0,1\pi[/tex]

Kan du utdype litt her? Er $r$ indre radius? Og er $d$ tykkelsen på sementen? Og var $V(r) = \pi r^2l$? For i så fall er vel det volumet av hele sylinderet, og ikke bare av sementen? Men ser du får riktig svar...

$V(r)=\pi r^2 l$ er volumet av en sylinder med lengde $l$ og radius $r$. Sementen består av et område avgrenset av to sylindere med radier $r_{i}$ (indre radius) og $r_{y}$ (ytre radius). Vi har sammenhengen $r_y=r_i+d$ der $d$ er tykkelsen på sementen. Da er volumet av sementen $V(r_y)-V(r_i)=V(r_i+d)-V(r_i)$.

Setning 6.1.7 sier nå at $V(r_i+d)=V(r_i)+V'(r_i)d+\eta(d)d$

For små verdier av $d$ vil det siste leddet over bli forsvinnende lite, så det kan ignoreres i en approksimasjon.


(EDIT:

Merk at vi like gjerne kunne sagt at $V(r_y)-V(r_i)=V(r_y)-V(r_y-d)$. Setning 6.1.7 sier nå at $V(r_y-d)\approx V(r_y)-V'(r_y)d$.

Begge metodene er akkurat like riktige, men gir litt forskjellige svar på differansen $V(r_y)-V(r_i)$ ved at den deriverte av V er evaluert i to forskjellige punkter:

Fra den første beregningen er $V(r_y)\approx V(r_i)+V'(r_i)d$, mens fra den andre er $V(r_y)\approx V(r_i)+V'(r_y)d$. Tar vi gjennomsnittet av disse får vi en bedre tilnærming, ie. $V(r_y)\approx V(r_i)+\frac{V'(r_i)+V'(r_y)}{2}d$. Disse tre typene approksimasjoner finner man igjen i forward/backward Euler- og Crank-Nicholson-metodene fra numerisk analyse.

plutarco wrote:

Aleks855 wrote:

Janhaa wrote: Metode 2

[tex]V ' (r)\cdot d = 2\pi r l d = 0,1\pi[/tex]

Kan du utdype litt her? Er $r$ indre radius? Og er $d$ tykkelsen på sementen? Og var $V(r) = \pi r^2l$? For i så fall er vel det volumet av hele sylinderet, og ikke bare av sementen? Men ser du får riktig svar...

$V(r)=\pi r^2 l$ er volumet av en sylinder med lengde $l$ og radius $r$. Sementen består av et område avgrenset av to sylindere med radier $r_{i}$ (indre radius) og $r_{y}$ (ytre radius). Vi har sammenhengen $r_y=r_i+d$ der $d$ er tykkelsen på sementen. Da er volumet av sementen $V(r_y)-V(r_i)=V(r_i+d)-V(r_i)$.

Setning 6.1.7 sier nå at $V(r_i+d)=V(r_i)+V'(r_i)d+\eta(d)d$

For små verdier av $d$ vil det siste leddet over bli forsvinnende lite, så det kan ignoreres i en approksimasjon.

Nå tror jeg det gikk på plass. Nytt forsøk:

$V = V(r_y) - V(r_i)$

Bruker at $r_y = r_i + t$ (starta med å bruke t tidlig, så fortsetter bare med det for å unngå kluss i egne notater senere).

Dette gir $V = V(r_i + t) - V(r_i) = V(r_i) + V'(r_i)t + \eta(t)t - V(r_i) = V'(r_i)t + \eta(t)t \to V'(r_i)t$

Trenger nå å finne $V(r_i) = \pi r_i^2l$ som gir $V'(r_i) = 2\pi lr_i$ og $V'(r_i)t = 2 \pi l r_i t = 2\pi \cdot 2m \cdot 0.5m \cdot 0.05m = 0.1\pi m^3$

Jeg hadde en latterlig dårlig tankegang, om at $V(r_i)$ skulle i seg selv være volumet av sementen, så jeg kom hele tida frem til at $V(r_i) = \pi l(r_y^2 - r_i^2) = \pi l((r_i+t)^2-r_i^2)$ som selvfølgelig ga feil svar. Ser nå også hvordan Janhaa førte sin metode 2.

Ser utregninga grei ut nå?

Ja, det er riktig nå. Det var nok den misforståelsen med sylindervolum du pekte på som lagde alt rotet, ja.

Supert. Takk for hjelpa, begge to