matematikk.net

Hei,
lurte på hvordan man løser følgende differensialligning?

[tex]m \cdot v^\prime=mg-cv^2[/tex]

når

[tex]v(0)=0[/tex]

modasser wrote:Hei,
lurte på hvordan man løser følgende differensialligning?
[tex]m \cdot v^\prime=mg-cv^2[/tex]
når
[tex]v(0)=0[/tex]

hint;
[tex]m \cdot v^\prime=mg-cv^2[/tex]

[tex]\frac{m}{c}\int \left(\frac{dv}{\frac{mg}{c}-v^2}\right) =\int\,dt[/tex]

integrasjonen av LHS er noe med arctanh(Expression)

Jeg integrerte de to integralene og løste med hensyn på V(x), men kan noen sjekke om dette er riktig svar, for i fasiten står det noe helt annet tror jeg.

Jeg fikk:

[tex]v(t)=\frac{\sqrt(gm)-\sqrt(gm)e^{2gt}}{\sqrt{c}[-e^{2gt}-1]}[/tex]

Mens i fasiten står det:

[tex]v(t)=\sqrt(\frac{mg}{c})-\frac{2\sqrt{\frac{mg}{c}}}{1+te^{2\sqrt{\frac{gc}{m}}}}[/tex]

Så hva er riktig eller feil?

modasser wrote:Jeg integrerte de to integralene og løste med hensyn på V(x), men kan noen sjekke om dette er riktig svar, for i fasiten står det noe helt annet tror jeg.
Jeg fikk:
[tex]v(t)=\frac{\sqrt(gm)-\sqrt(gm)e^{2gt}}{\sqrt{c}[-e^{2gt}-1]}[/tex]
Mens i fasiten står det:
[tex]v(t)=\sqrt(\frac{mg}{c})-\frac{2\sqrt{\frac{mg}{c}}}{1+te^{2\sqrt{\frac{gc}{m}}}}[/tex]
Så hva er riktig eller feil?

Fikk forskjellig fra dere begge så vidt jeg kan se i farta;

[tex]\large v(t)=v=\sqrt{\frac{mg}{c}}\tanh(\sqrt{\frac{cg}{m}}t)[/tex]
eller
[tex]\large v(t)=v=\sqrt{\frac{mg}{c}}\left(-1\,+\,\frac{2}{1+\exp(-2t\sqrt\frac{cg}{m})}\right)[/tex]

mulig dette har gått litt fort...