matematikk.net

Sitter fast med en eksamensoppgave (calculus 1). Oppgaven lyder som følger:

La [tex]{ \left\{ { a }_{ n } \right\} }_{ n=0 }^{ \infty }\quad[/tex] være en følge. Vi antar
at det finnes en r > 0 slik at følgen [tex]{ \left\{ { a }_{ n }{ r }^{ n } \right\} }_{ n=0 }^{ \infty }\quad[/tex] er begrenset.
Vi da at potensrekken
[tex]\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { a }_{ n }x^{ n } }[/tex] absolutt konvergent når [tex]\left| x \right| \quad <\quad r[/tex].

Løsningen sier:



Kan noen forklare meg dette?

Hva er det du ikke forstår av forklaringen? Det er litt lettere å hjelpe deg å forstå den om du er litt mer spesifikk.

Jeg skjønner at siden følgen [tex]{ \left\{ { a }_{ n }{ r }^{ n } \right\} }_{ n=0 }^{ \infty }[/tex] er begrenset må [tex]\left| { { a }_{ n }r }^{ n } \right| \quad \le \quad K[/tex], men jeg klarer ikke å se sammenhengen [tex]\left| { { a }_{ n }x }^{ n } \right| =\left| { { a }_{ n }r }^{ n } \right| \frac { \left| { x }^{ n } \right| }{ { r }^{ n } } \quad \le \quad K{ \left( \frac { \left| { x } \right| }{ { r } } \right) }^{ n }[/tex]. Hva er tankegangen for å komme fram til dette? Må man bare "se" det?

Jeg skjønner også at [tex]\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ K{ \left( \frac { \left| { x } \right| }{ { r } } \right) }^{ n } }[/tex] er konvergent fordi [tex]\left| x \right| <r[/tex], men skjønner altså ikke hvordan man kommer fram til denne rekken?

Ja, dette er nok noe man bare må "se", og slike ting som dette krever erfaring for å klare å gjøre på egen hånd.

Veldig ofte må man forsøke å skrive om ting slik at man får brukt premissene. Her ønsker vi å vise at rekken med ledd $|a_n x^n|$ er konvergent, og vi må på en eller annen måte få brukt at $|a_n r^n| \leq K$. Derfor prøver vi å skrive $|a_n x^n|$ uttrykt ved $|a_n r^n|$. Det kan gjøres ved å gange og dele med $r^n$ (siden r > 0 trenger vi ikke å tenke på absoluttverdier), og vi får altså at $|a_n x^n| = |a_n r^n| \frac{|x^n|}{r^n}$. Nå vet vi da at siden $|a_n r^n| \leq K$ så må da $|a_n x^n| \leq K \frac{|x^n|}{r^n}$. Jeg antar resten er ok?

Ja, nå ser jeg det Tusen takk for svar! Det hjalp mye.