matematikk.net

En modell for folketallet,p, i New York gir differensialligning:

[tex]\frac{dp}{dt}=0.56p-4.0 \cdot 10^{-8}p^2-16 \cdot 10^5[/tex]

der t måles i år.

1/1-1960 var folketallet [tex]\: 6.0 \cdot 10^6[/tex]

a) Finn fra denne modellen folketallet i New York som funksjon av antall år etter 1/1-1960.


Hvordan finner jeg ut dette? Jeg har brukt ricatti regelen der jeg satte p_1= 6*10^6, er det riktig å sette det slik?

Altså må man vite en verdi før det er mulig å løse ved bruk av ricatti, hvilken verdi er dette?

initialbetingelse:

[tex]p(0)= 6*10^6[/tex]

jeg får det bare ikke til å stemme, slik prøver jeg og skjønner ikke hvor feilen blir begått:

Skal løse denne:
[tex]\frac{dy}{dx}=0.56y-4 \cdot 10^{-8}y^2-16 \cdot 10^5[/tex]

Prøvde slik:
Bruker riccati likning slik:
[tex]z=\frac{1}{y- 6 \cdot 10^6}[/tex]

[tex]y=6 \cdot 10^6 +\frac{1}{z}[/tex]

[tex]y^\prime=-\frac{z^\prime}{z^2}[/tex]

[tex]\frac{-z^\prime}{z^2}=0.56(6 \cdot 10^6 +\frac{1}{z})-4 \cdot 10^{-8}(6 \cdot 10^6 +\frac{1}{z})^2 -16 \cdot 10^5[/tex]

[tex]z^\prime=-0.56 \cdot 6 \cdot 10^6z^2-0.56z+144 \cdot 10^4 z^2 -0.48z-4 \cdot 10^{-8}-16 \cdot 10^5 z^2[/tex]

Er det riktig til hit? For meg stopper det opp her, har problemer med å få z alene på en side, hvordan blir det videre?