matematikk.net

Kan noen vise hvordan jeg kan beregne grenseverdien av denne ved hjelp av L'Hôpitals regel?

\[\lim_{x \to 0} \frac{1-\sqrt{1-sinx}}{x}\]

l'hopital wrote:Kan noen vise hvordan jeg kan beregne grenseverdien av denne ved hjelp av L'Hôpitals regel?
\[\lim_{x \to 0} \frac{1-\sqrt{1-sinx}}{x}\]

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{1-\sqrt{1-sinx}}{x}="0/0"[/tex]

da kan du derivere teller og nevner, se link;

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... x%29%29%27

slik at

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{2\sqrt{1-\sin(x)}}=\frac{1}{2}[/tex]

Tja en fordel her kan være å se at ved derivasjon blir nevner en. Siden L'hôpital
sier at grensen ikke forandres ved derivasjon av teller og nevner seperat. Så

$ \hspace{1cm}
\lim_{ x \to 0} \frac{1 - \sqrt{1 - \sin x} }{x}
= \lim_{ x \to 0} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( 1 - \sqrt{1 - \sin(x) }\right)
$

Første del blir null. Mens andre del løses ved ved å bruke at $\sqrt{g(x)} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} $
Som igjen kommer fra kjereregelen kombinert med at $(x^{n})' = nx^{n-1}$ med $n=1/2$.

Ellers er det lettere å vise grensen om en er litt frekk og bruker rekkeutviklinger. For små
$x$ så har en $\sin x \sim x$ og $\sqrt{1-x} \sim 1-x/2 $. Slik at

$ \hspace{1cm}
\lim_{ x \to 0} \frac{1 - \sqrt{1 - \sin x} }{x}
= \lim_{ x \to 0} \frac{1 - \left( 1 - \frac{1}{2}\frac{\sin x}{x}\right)}{x}
= \frac{1}{2} \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{x}
= \cdots
$