matematikk.net

Der jeg har markert med rødt.
Hvordan har de kommet fram til dette?

Det kommer av ordet rett før det du har markert. Den karakteristiske likninga har en dobbelrot, altså at diskriminanten til andregradslikninga er 0.

Hvis dette er nytt burde du lese kapitlet på nytt, spesielt om tilfeller der du har kun én reell rot på likninga.

Det står selvfølgelig i boken, men det er et ganske enkelt resonnement også:
Det er ikke vanskelig å tenke seg til gode kandidater til løsning for den homogene likningen: Vi trenge en funksjon y slik at en konstant gange den annenderiverte pluss en annen konstant gange den deriverte pluss en konstant gange funksjonen er null. VI vet at exponentfunksjonen [tex]y=e^{rx}[/tex] har egenskapen at den deriverte er seg selv gange en konstant [tex]y'=re^{rx}[/tex] og også at [tex]y''=r^2e^{rx}[/tex]. Nå er det i grunnen bare å fylle dette inn i ligningen, og prøve å finne r slik at summen blir null. Du ser lett at det ser slik ut:
[tex]r^2e^{rx}+2re^{rx}+e^{rx}=0[/tex] eller [tex](r^2+2r+1)(e^{rx})=0[/tex] og siden [tex]e^{rx}[/tex] aldri er 0, finner vi at r=-1.

siden vi har en dobbelrot er r=-b/2a eller 2ar+b=0 Vi vet at [tex]y_{1}=e^{-x}[/tex] er en løsning, og vi må finne en annen lineært uavhengig i tillegg. Du kan selv sjekke at [tex]y_{1}=xe^{-x}[/tex] virker.

Disse ligningene kommer fra fysiske systemer, og hvis likningen kommer fra ene analyse av et fysisk system, er det ofte mye enklere å forstå/finne løsninger. Den homogen delen er en dempet fjær. En dobbletrot betyr at systemet er kritisk dempet.

Takk, skjønte det nå.

Men kan noen hjelpe meg med å forklare denne også? Altså hva som har blitt gjort linje for linje, og hvorfor. Prøvde å se i boken, men fant ingen liknende eksempler.

123hei wrote:Takk, skjønte det nå.

Men kan noen hjelpe meg med å forklare denne også? Altså hva som har blitt gjort linje for linje, og hvorfor. Prøvde å se i boken, men fant ingen liknende eksempler.

Deler på y på begge sider.

Integrerer begge sider mhp. x.

Utfører integralene.

Ekponentierer begge sider.

Fjerner absoluttverditegn ved å betrakte både positiv og negativ verdi på høyre side.