matematikk.net

Fra dagens konteeksamen i matte 1 på NTNU:

La $R$ være området i første kvadrant begrenset av koordinataksene og kurven $y = f(x) = 2e^{-x^2} - x$. Vis at volumet, $V$, av omdreiningslegemet som fremkommer ved å rotere $R$ om $y$-aksen er gitt ved
$V = \frac{\pi}{3} ( 6 - 3c - 2c^3)$, der $c$ er nullpunktet, dvs. $f(c) = 0$.


Noen hjelp?

Jeg tenker $V = \int_0^2 \pi r^2$ der $r$ er en horisontal slice av $R$. Problemet er at jeg klarer ikke å uttrykke denne $r$-en ved hjelp av $y$. Smarte ideer?

Skivemetoden blir vanskelig her, med cylindrical shell method kommer jeg ikke nærmere enn,

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... rom+0+to+c

altså ikke helt riktig...

der

[tex]V=2\pi \int_0^c x(2e^{-x^2}\,-\,x)\,dx[/tex]

fant forresten ut at fasit oppgitt og mitt er ekvivalente for f(c) = 0
c = 0.896
dvs
[tex]V=2\pi \int_0^c x(2e^{-x^2}\,-\,x)\,dx = \frac{\pi}{3} ( 6 - 3c - 2c^3) = \frac{\pi}{3} ( 6 - 6e^{-c^2} - 2c^3)[/tex]
der
[tex]\pi\cdot c=2\pi\cdot e^{-c^2}[/tex]

Her er oppgaven i sin helhet:


Oppgave 2

La funksjonen $f$ være gitt ved $f(x) = 2e^{-x^2} - x$.

a)

Vis at det finnes ett, og kun ett, tall $c \in (0,1)$ slik at $f(c) = 0$.

b)

La $R$ være området i første kvadrant begrenset av koordinataksene og kurven $y = f(x)$. Vis at volumet, $V$, av omdreiningslegemet som fremkommer ved å rotere $R$ om $y$-aksen er gitt ved

$V = \frac{\pi}{3} ( 6 - 3c - 2c^3)$.

c)

Finn $c$ med en nøyaktighet på tre desimaler vha. Newtons metode og bruk dette til å anslå en tilnærmet verdi av $V$.


--------------------------------


a) og c) gikk helt fint, og jeg fikk også 0,896, og jeg fant også ut at det passet inn i løsningen. Men jeg kan ikke for livet av meg se hvordan jeg skal sette opp integralet og komme frem til uttrykket i oppgave b). Jeg er ikke helt sikker på om du klarte det heller...? Skjønte ikke helt om du endte opp med å finne løsningen eller ikke. Veldig fint om du utdyper. Takk for hjelpen!

kontlol wrote:Fra dagens konteeksamen i matte 1 på NTNU:
Jeg tenker $V = \int_0^2 \pi r^2$ der $r$ er en horisontal slice av $R$. Problemet er at jeg klarer ikke å uttrykke denne $r$-en ved hjelp av $y$. Smarte ideer?

Hvis du prøve å løse det ubestemte integralet vha skivemetoden ender du opp med error function, erf(x). Og da er du ute å kjører...
Du får ikke isolert y, man må bruke Lamberts Omega funksjon, og det er ikke meninga.

Jeg er ganske sikker på at min metode er rett, sjøl om det blei litt kluss med det ene leddet. Det ville garantert gitt poeng (fordi integralet som sådan er korrekt).

ubestemte integralet:

http://symbolab.com/solver/system-of-eq ... gin=button

jeg tipper, uten å ha sett på det, at en smart substitusjon må foretas i integralet, for å "få bort" exp(-c^2)