matematikk.net

Hvordan går jeg frem for å løse dette integralet?

[tex]\int H(t)e^{-t}\text{d}t[/tex]

Hvor [tex]H(t)[/tex] er Heaviside-funksjonen.

zell wrote:Hvordan går jeg frem for å løse dette integralet?
[tex]\int H(t)e^{-t}\text{d}t[/tex]
Hvor [tex]H(t)[/tex] er Heaviside-funksjonen.

dette er delvis integrasjon;

[tex]\int H(t)e^{-t}\text{d}t=-e^{-t}\cdot H(t)\,+\,\int H'(t)e^{-t}\,dt=-e^{-t}\cdot H(t)\,+\,\int \delta (t)\cdot e^{-t}\,dt[/tex]

[tex]\int H(t)e^{-t}\text{d}t=-e^{-t}\cdot H(t)\,+\,H(t)\,+\,C=H(t)\cdot \left(1\,-\,e^{-t}\right)\,+\,C[/tex]
der
[tex]H'(t)=\delta (t)[/tex]
og
[tex]\int \delta (t)\cdot e^{-t}\,dt=H(t)+c[/tex]

Takk for svar, prøvde med delvis integrasjon selv, men gjorde tydeligvis en feil på [tex]\int\delta (t)e^{-t}\text{d}t[/tex]

Hvorfor blir det integralet lik [tex]H(t)[/tex]? Jeg utførte nok en delvis på det, med [tex]u^\prime = \delta (t) \ \text{og} \ v = e^{-t}[/tex], får da:

[tex]\int H(t)e^{-t}\text{d}t = -e^{-t}H(t)+\left[H(t)e^{-t}+\int H(t)e^{-t}\text{d}t\right][/tex] som du jo ser byr på problemer..

zell wrote:Takk for svar, prøvde med delvis integrasjon selv, men gjorde tydeligvis en feil på [tex]\int\delta (t)e^{-t}\text{d}t[/tex]
Hvorfor blir det integralet lik [tex]H(t)[/tex]? Jeg utførte nok en delvis på det, med [tex]u^\prime = \delta (t) \ \text{og} \ v = e^{-t}[/tex], får da:
[tex]\int H(t)e^{-t}\text{d}t = -e^{-t}H(t)+\left[H(t)e^{-t}+\int H(t)e^{-t}\text{d}t\right][/tex] som du jo ser byr på problemer..

Er ikke sikker, men lurer på om man må bruke konvolusjons-transform eller en eller annen form for transformasjon...
Kanskje noen av matematikerne her kan dette?

Er vel ikke veldig vanskelig? Tanken er å dele opp integralet siden

$ \hspace{1cm} H(t) = \left\{ \begin{array}{cc} 1 & t>0 \\ 0 & t<0\end{array} \right.$

Dermed så er funksjonen din

$ \hspace{1cm} H(t)e^{-t} = \left\{ \begin{array}{cc} e^{-t} & t>0 \\ 0 & t<0\end{array} \right.$

Som er enkel å integrere

$ \hspace{1cm}
\int H(t) e^{-t} \mathrm{d}t
= \left\{ \begin{array}{lr} \int 1 \cdot e^{-t}\,\mathrm{d}t = -e^{-t} & , \ t>0 \\ \int 0 \cdot e^{-t}\,\mathrm{d}t = 0 & , \ t<0 \end{array} \right|
= - H(t) e^{-t}
$

Heavyside funksjonen bare kapper funksjonen din. Merk at heavyside funksjonen er udefinert i origo (en kan velge 1/2 men det er juks)

Det var slik jeg i utgangspunktet tenkte, men det gir meg ikke korrekt svar på problemet hvor dette inngår. Jeg sjekket også integralet med WolframAlpha og får det samme svaret som Janhaa ga.

Uttrykkene er like, er bare en konstant som skiller dem. Siden $H(t) + C' = C$.
"Fordelen" med å skrive den antideriverte slik wolfram gjør er at den integrerte
blir kontinuerlig (merk origo). Om dette egentlig er en fordel når funksjonen er diskontinuerlig
får bli en annen diskusjon.

Skjønner, takk for svar!