matematikk.net

Hei, jeg trenger hjelp til å finne den inverse funksjonen til:

[tex]z=f(u)=ln \frac{1}{u} -u+1[/tex]

for [tex]\: 0< u \le 1[/tex] .

Jeg prøvde men stoppet opp etter litt(da jeg prøvde å løse med hensyn på u:

[tex]z-1=ln \frac{1}{u} -u[/tex]

[tex]e^{z-1}=e^{ln \frac{1}{u} -u}[/tex]

[tex]ue^u=\frac{1}{e^{z-1}}[/tex]

Nå, hvordan får jeg u alene?

Var oppgaven ordrett å finne den inverse funksjonen? Siden her så har funksjonen en
entydig invers for $x\geq 0$, men den kan ikke uttrykkes ved våre vanlige elementære funksjoner.
Å vise at en slik invers eksisterer er noe lettere (hvorfor?).

For å uttrykke inversen kan vi bruke LambertW funksjonen og er definert slik at
$z = W(z) e^{W(z)}$. Eller med andre ord $Y = X e^X \ \Longrightarrow \ X = W(Y)$.

I din oppgave har vi

$ \displaystyle
\begin{array}{ll}
y & = -\log x - x + 1 \\
e^y \cdot e^{-1} &= e^{-\log x} \cdot e^{-x} e^{1} \cdot e^{-1} \\
e^{y-1} &= \frac{1}{xe^{x}} \\
\end{array}
$

Som fra definisjonen betyr at $x = W(e^{1-y})$ (hvorfor?). Merk at LambertW ikke er mer
magisk definert enn logaritmen $\log x = \int_1^x \frac{\mathrm{d}u}{u}$.
det er bare en ny funksjon innført for å løse visse type likninger. Lar det være opp til deg
å fylle inn de algebraiske hullene. Merk at dette ikke er pensum så regner med ordlyden i
oppgaven var noe annerledes =)

Hvordan ble

[tex]xe^x=e^{(1-y)}[/tex]

til

[tex]x=We^{(1-y)}[/tex]

?

Det er slikt funksjonen er definert

Tilsvarende som at har definert logaritmefunksjonen til å være løsningen av $y = b^x \ \Rightarrow x = \log_b(y)$
så er LambertW definert som løsningen av $y = x e^x \ \Rightarrow \ x = W(y)$

Ok takk skjønner.