Jeg vet ikke riktig hvordan jeg kan skrive dette:
A)Vis at et heltall er delelig med 3, hvis og bare hvis tverrsummen er delelig med 3.
B) Vis at 4^n-1 alltid er delelig med 3 når n er element i N
Takknemlig for hjelp
Bevis
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Grøtmannen
Hei!
A)
Ethvert tall $\displaystyle S \in \mathbb{N}$ med sifrene $\displaystyle s_1, s_2, s_3, s_4, ... , s_n, n \in \mathbb{N}$
kan skrives som $\displaystyle S = s_1 \cdot 10^{n-1} + s_2 \cdot 10^{n-2} + ... + s_n \cdot 10^{0}$
Det skal ikke mye tenking til før man ser at $\displaystyle 10^k, k \in \mathbb{N}$ alltid vil gi 1 i rest når man dividerer på 3. Derfor skjer det ingenting med resten til $\displaystyle \frac{S}{3}$ når vi multipliserer sifrene med $\displaystyle 10^{n-1}, 10^{n-2}, 10^{n-3}$ osv. I denne sammenhengen er det det samme som å multiplisere alle sifrene med 1.
Derfor kan vi se at for å finne ut om S er delelig med 3, trenger vi kun å se om
$\displaystyle s_1 + s_2 + s_3 + ... + s_n$ er delelig med 3.
B)
$\displaystyle \begin{align*} & 4^{n} - 1 \\
& = (2^{2})^{n} - 1 \\
& = 2^{2n} - 1 \\
& = (2^{n})^{2} - 1 \\
& = (2^{n} + 1)(2^{n} - 1) \end{align*}$
Ettersom $\displaystyle 2^{n}$ aldri vil være delelig med 3, vil alltid enten $\displaystyle 2^{n} + 1$ eller $\displaystyle 2^{n} - 1$ være delelig med 3. Derfor vil også alltid $\displaystyle 4^{n} - 1$ være delelig med 3.
Håper dette var til hjelp.
A)
Ethvert tall $\displaystyle S \in \mathbb{N}$ med sifrene $\displaystyle s_1, s_2, s_3, s_4, ... , s_n, n \in \mathbb{N}$
kan skrives som $\displaystyle S = s_1 \cdot 10^{n-1} + s_2 \cdot 10^{n-2} + ... + s_n \cdot 10^{0}$
Det skal ikke mye tenking til før man ser at $\displaystyle 10^k, k \in \mathbb{N}$ alltid vil gi 1 i rest når man dividerer på 3. Derfor skjer det ingenting med resten til $\displaystyle \frac{S}{3}$ når vi multipliserer sifrene med $\displaystyle 10^{n-1}, 10^{n-2}, 10^{n-3}$ osv. I denne sammenhengen er det det samme som å multiplisere alle sifrene med 1.
Derfor kan vi se at for å finne ut om S er delelig med 3, trenger vi kun å se om
$\displaystyle s_1 + s_2 + s_3 + ... + s_n$ er delelig med 3.
B)
$\displaystyle \begin{align*} & 4^{n} - 1 \\
& = (2^{2})^{n} - 1 \\
& = 2^{2n} - 1 \\
& = (2^{n})^{2} - 1 \\
& = (2^{n} + 1)(2^{n} - 1) \end{align*}$
Ettersom $\displaystyle 2^{n}$ aldri vil være delelig med 3, vil alltid enten $\displaystyle 2^{n} + 1$ eller $\displaystyle 2^{n} - 1$ være delelig med 3. Derfor vil også alltid $\displaystyle 4^{n} - 1$ være delelig med 3.
Håper dette var til hjelp.