matematikk.net

Hei, trenger litt hjelp til dette:

Jeg skal finne modulusen og argumentet til det komplekse tallet:
z= i + (2+2i/1-i)

Modulusen kom jeg frem til at er 1. Men dette er jeg ikke helt sikker på.
Siden jeg regnet videre med dette og da kom jeg frem til at argumentet er:

cos θ =1 og sin θ = 0
Jeg er litt rusten på cosinus og sinus reglene, men vil dette si at argumentet ligger i første kvadrant? Og hva blir i så fall argumentet?
Av tidligere oppgaver jeg har gjort er argumentet et svar med π i seg..

Er jeg helt på bærtur her?
Takker på forhånd for hjelp.
Anna

Det første du burde gjøre er å skrive $z$ på formen $a+ib$, noe du kanskje allerede har gjort. Her er i alle
tilfeller utregninen $z=i+\frac{2+2i}{1-i}=i+\frac{(2+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=i+\frac{2(1+i)^2}2=i+2i=3i$.

For et komplekst tall $z=a+ib$ er modulusen gitt ved $r=\sqrt{a^2+b^2}$. I dette tilfellet er $a=0$ og $b=3$
så $r=\sqrt{0^2+3^2}=3$. Videre vil argumentet, $\theta$ tilfredsstille ligningene $\cos{\theta}=\frac{a}{r}$
og $\sin{\theta}=\frac{b}{r}$. Som for vår $z=3i$ gir ligningene $\cos{\theta}=0$ og $\sin{\theta}=\frac33=1$.
Det er kun en vinkel i første omløp som tilfredsstiller disse ligningene, $\theta=\frac{\pi}2$.

Ut i fra det du skriver så må det være noe som har gått galt på veien, antageligvis i å skrive $z$ på formen
$a+ib$. Hvis du med et annet komplekst tall hadde kommet frem til de ligningene du skriver så ville du fått
argument $0$ eller $2\pi$. Altså løsningen av $\cos{\theta}=1$ og $\sin{\theta}=0$ er $\theta=2\pi$ eller
$\theta=0$.

Et lite tips er å tegne opp $z$ i det komplekse planet. Da vil du i en del tilfeller kunne avgjøre hva argumentet
blir uten å utføre noen utregninger. For eksempel $z=3i$ vil ligge på den imaginære aksen (y-aksen) og det
er lett å se at argumentet må være $90$ grader eller $\frac{\pi}2$.