matematikk.net

Trenger faktisk hjelp med en hel oppgave.

f(x) er gitt ved:
x[sup]2[/sup]+2 ; x ≥ 0
-x[sup]2[/sup] + 2 ; x < 0

a) Er x=0 et kritisk punkt for funksjonen? Har funksjonen et vendepunkt i x= 0? Svarene skal begrunnes.

Jeg tror ikke x=0 er et kritisk punkt, f er definert der og er 2.
Når det gjelder vendepunkt, så er det ikke i x=0 det er i henholdsvis 2 og -2, det kan vises ved å dobbeltderivere f(x). Men er dette bevis tilstrekkelig?

b) Vil en funksjon som har vendepunkt i x = x[sub]0[/sub] og samtidig har ikke-vertikal tangent i (x[sub]0[/sub], f(x[sub]0[/sub]) nødvendigvis være slik at f''(x[sub]0[/sub]) = 0?

Aner ikke.

c) Hvis vi antar at f''(x) skifter fortegn i x = x[sub]0[/sub] og det dessuten antaes at f''(x[sub]0[/sub]) eksisterer, må da f''(x[sub]0[/sub]) = 0?

Aner ikke.

a) Tallet c kalles et kritisk punkt dersom f'(c)=0 eller f'(c) ikke eksisterer. Her er f(x) = -x[sup]2[/sup] + 2 for x<0 og f(x) = x[sup]2[/sup] + 2 for x>=0. Dette gir f'(x) = -2x for x<0 for f(x) = 2x for x>=0. Ergo blir

1) lim[sub]x->0[sup]-[/sup][/sub] f(x) = -0[sup]2[/sup] + 2 = 2 og lim[sub]x->0[sup]+[/sup][/sub] f(x) = 0[sup]2[/sup] + 2 = 2.

2) lim[sub]x->0[sup]-[/sup][/sub] f'(x) = -2[sub]*[/sub]0 = 0 og lim[sub]x->0[sup]+[/sup][/sub] f'(x) = 2[sub]*[/sub]0 = 0.

Av punktene 1 og 2 følger hhv. at f(x) og f'(x) er kontinuerlig i x=0. Følgelig er f'(0)=0, hvilket igjen innebærer at c=0 et kritisk punkt.


b) Svaret på dette spørsmålet er "nei". F.eks. vil funksjonen f(x)=x[sup]5/3[/sup] (som gir f'(x)=(5/3)x[sup]2/3[/sup] og f''(x)=(10/9)x[sup]-1/3[/sup]) ha et vendepunkt i x=0 (ettersom f''(x) skifter fortegn i x=0) med en horisontal tangent, men f''(0) eksisterer ikke.


c) Anta at f''(x) skifter fortegn i x = x[sub]0[/sub] og at f''(x[sub]0[/sub]) eksisterer. Den siste antagelsen innebærer at f''(x) er kontinuerlig i x=x[sub]0[/sub]. I.o.m. at f''(x) skifter fortegn i x=x[sub]0[/sub], må f''(x[sub]0[/sub])=0 ifølge skjæringssetningen.