matematikk.net

Hei,
I denne oppgaven skal jeg bruke et triks for å løse andre differensialligninger. Men jeg trenger hjelp til å forstå dette trikset her som følger:


Oppgave 10.4.19
En differensialligning kalles projektiv dersom den kan skrives på formen
[tex]y^\prime=F(\frac{y}{x}) \: \: \: , \:[/tex] (*)

for en funksjon F. Vis at dersom y er en løsning av (*) , så er [tex]\: u(x)=\frac{y(x)}{x} \:[/tex] en løsning av en separabel ligning.

Bruk trikset over til å løse:

a) [tex]y^\prime=e^{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}[/tex]

Kan noen forklare hva slags triks dette er? Og jeg finner ikke y, kan noen vise hvordan man finner den?

Setter pris på svar.

modasser wrote: [tex]y^\prime=F(\frac{y}{x}) \: \: \: , \:[/tex] (*)

for en funksjon F. Vis at dersom y er en løsning av (*) , så er [tex]\: u(x)=\frac{y(x)}{x} \:[/tex] en løsning av en separabel ligning.

Bruk trikset over til å løse:

a) [tex]y^\prime=e^{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}[/tex]

Vi har at $y'=u+xu'=F(u)$, altså er $\frac{du}{F(u)-u}=\frac{dx}{x}$(**) en separabel ligning. For å løse ligningen i a) er det bare å identifisere hva F(u) må være, deretter løse (**) for $u(x)$, og til slutt finne y(x) fra sammenhengen $y(x)=xu(x)$

Hvordan skal jeg identifisere hva [tex]\: F(u) \:[/tex] må være? hva er den?

modasser wrote:Hvordan skal jeg identifisere hva [tex]\: F(u) \:[/tex] må være? hva er den?

Ved å sammenligne formen i (*) med ligningen i a)

Slik

[tex]F(u)=e^{u}-u[/tex]

?

modasser wrote:Slik

[tex]F(u)=e^{u}-u[/tex]

?

Hvor får du minustegnet fra?

Kjære moderator jeg mente å ha pluss der. Tusen hjertelig takk for hjelpen.