matematikk.net

Har ikke fått samme svar som fasiten... Her er oppgaven:



Jeg faktoriserte telleren til x(x-a)(x+a) og løste integralet med delbrøksoppspalting.


svaret jeg fikk:




svaret fasiten fikk:




På et løsningsforslag jeg fant på nettet brukes substitisjon helt i starten. Er det ikke mulig å løse dette integralet ved delbrøksoppspalting?

Rettelse: Faktoriserte selvfølgelig nevneren...

Litt vanskelig å se svaret ditt... men hvis du omformer svaret med logaritmesetningene tenker jeg du kommer frem til fasitsvaret.
Det er fullt mulig å løse oppgaven med din metode.

Siden spørsmålet er besvart kan vi løse integralet på en litt annerledes måte.
Vi tar utgangspunkt i substitusjonen $x \mapsto a/u$. Så $\mathrm{d}x = -a\frac{\mathrm{d}u}{u^2}$
Som igjen betyr at $\frac{\mathrm{d}x}{x} = -a \frac{\mathrm{d}u}{u^2}\frac{1}{x} = - \frac{\mathrm{d}u}{u}$.
Hvor det ble brukt at $\frac{1}{x} = \frac{u}{a}$. Substitusjon gir så

$ \hspace{1cm}
\int \frac{1}{(x^2-a^2)} \frac{\mathrm{d}x}{x}
= \int \frac{-1}{(a/u)^2-a^2} \frac{\mathrm{d}u}{u}
= \frac{1}{2a^2} \int \frac{2u \: \mathrm{d}u}{u^2 - 1}
= \frac{1}{2a^2} \log (u^2 - 1)
= \frac{1}{2a^2} \log \left[ \left(\frac{a}{u}\right)^2 - 1 \right] + \mathcal{C}
$

Hoppet bukk over noen mellomregninger, men det tåler du vel

Denne kan også løses ved delbrøksoppspaltning. Bare faktoriser nevneren i integralet.

Selvsagt, men det krever både lengre tid og mer arbeid =)