Målet er å bacwards engineere løsningen og lære av det. Har veldig knapt med tid og sitter litt i klemma skjønner dere :/
På forhånd, eˆ169 ganger takk!
Rotasjonslegeme problem
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
QBab
Noen som vil prøve seg på denne? Jeg har deadline i mårra kveld, så en løsning hadde vært ønskelig.
Målet er å bacwards engineere løsningen og lære av det. Har veldig knapt med tid og sitter litt i klemma skjønner dere :/
På forhånd, eˆ169 ganger takk!
Målet er å bacwards engineere løsningen og lære av det. Har veldig knapt med tid og sitter litt i klemma skjønner dere :/
På forhånd, eˆ169 ganger takk!
Integrer omkretsen av en sirkel med radius cosh(y) fra 0 til a, altså:
[tex]A = \int_0^{a} 2\pi\cosh{y}\ \mathrm{d}y[/tex]
EDIT: Og husk å ta med bunnen... [tex]A_{\text{bunn}} = 2\pi\cosh{0}[/tex]
EDIT 2: Og husk å ta med bunnen... [tex]A_{\text{bunn}} = \pi\cosh^2{0}[/tex]
[tex]A = \int_0^{a} 2\pi\cosh{y}\ \mathrm{d}y[/tex]
EDIT: Og husk å ta med bunnen... [tex]A_{\text{bunn}} = 2\pi\cosh{0}[/tex]
EDIT 2: Og husk å ta med bunnen... [tex]A_{\text{bunn}} = \pi\cosh^2{0}[/tex]
Last edited by zell on 09/11-2014 15:29, edited 2 times in total.
a finner du fra buelengden:
[tex]\mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 \ \Rightarrow s = \int\sqrt{1+\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right)^2}\mathrm{d}y = \int\sqrt{1+\sinh^2{y}}\mathrm{d}y[/tex]
Vi får (husk at [tex]\cosh^2{x}-\sinh^2{x} = 1[/tex]):
[tex]\int_0^{a}\sqrt{1+\sinh^2{y}}\mathrm{d}y = \int_0^a\cosh{y}\mathrm{d}y = \sinh{(1.15)}[/tex]
Løs ligningen over og du finner [tex]a[/tex].
[tex]\mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 \ \Rightarrow s = \int\sqrt{1+\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right)^2}\mathrm{d}y = \int\sqrt{1+\sinh^2{y}}\mathrm{d}y[/tex]
Vi får (husk at [tex]\cosh^2{x}-\sinh^2{x} = 1[/tex]):
[tex]\int_0^{a}\sqrt{1+\sinh^2{y}}\mathrm{d}y = \int_0^a\cosh{y}\mathrm{d}y = \sinh{(1.15)}[/tex]
Løs ligningen over og du finner [tex]a[/tex].
Kudos for å passe på kursiv-forskjellen i TeX.
Sitter med samme problem, og prøvde å løse det på din metode, men får ikke riktig. Hva gjør jeg galt?
[tex]\\\int_{0}^{a}cosh = [sinh + C[/tex]] fra 0 til a.
Har sinh(2) som buelengde.
Får da at a = 2.
Setter dette inn i formelen for A og får da 2Pi*sinh(2) + 2Pi (Bunnen)
Er jeg helt på jordet?
På forhånd takk for svar!
[tex]\\\int_{0}^{a}cosh = [sinh + C[/tex]] fra 0 til a.
Har sinh(2) som buelengde.
Får da at a = 2.
Setter dette inn i formelen for A og får da 2Pi*sinh(2) + 2Pi (Bunnen)
Er jeg helt på jordet?
På forhånd takk for svar!
Ser det har gått litt fort i svingene i formelen for arealet av bunnen, jeg har gitt formelen for omkretsen av bunnen... [tex]A_\text{bunn} = \pi\cosh^2{0}[/tex]
a = 2
[tex]A_{\text{tot}} = A_{\text{bunn}} + A[/tex]
[tex]A = \int_0^{a}2\pi\cosh{y}\mathrm{d}y = 2\pi\sinh{2.0}[/tex]
[tex]A_{\text{bunn}} = \pi r^2 = \pi\cosh^2{0} = \pi[/tex]
[tex]A_\text{tot} = \pi\left(1+2\sinh{(2.0)}\right)[/tex]
a = 2
[tex]A_{\text{tot}} = A_{\text{bunn}} + A[/tex]
[tex]A = \int_0^{a}2\pi\cosh{y}\mathrm{d}y = 2\pi\sinh{2.0}[/tex]
[tex]A_{\text{bunn}} = \pi r^2 = \pi\cosh^2{0} = \pi[/tex]
[tex]A_\text{tot} = \pi\left(1+2\sinh{(2.0)}\right)[/tex]
Jeg sliter med dette spørsmålet selv, og får ikke dette til å stemme. I min oppgave er a=1.24, og ved å benytte meg av formelen i sitatet får jeg 13.0886 hvilket tydeligvis er feil. Noen som ser hva som er feil? Tror jeg har prøvd absolutt alt for å få løst denne oppgaven, men nå er jeg helt blank...zell wrote: [tex]A_\text{tot} = \pi\left(1+2\sinh{(2.0)}\right)[/tex]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi ... o+7+digits
Ser at formelen for arealet er feil..
[tex]A = 2\pi\int_0^af(y)\sqrt{1+\left(f^\prime(y)\right)^2}\mathrm{d}y[/tex]
Bruker du denne skal du få 13.2085:
a=1.24
[tex]2\pi\int_0^{1.24}\cosh{y}\cosh{y}\mathrm{d}y = 2\pi\int_0^{1.24}\frac{1+\cosh{(2x)}}{2}\mathrm{d}x = \pi\left[x+\frac{1}{2}\sinh{(2x)}\right]_0^{1.24} = \pi\left(1.24+\frac{1}{2}\sinh{(2.48)}\right) = 13.2085[/tex]
[tex]A = 2\pi\int_0^af(y)\sqrt{1+\left(f^\prime(y)\right)^2}\mathrm{d}y[/tex]
Bruker du denne skal du få 13.2085:
a=1.24
[tex]2\pi\int_0^{1.24}\cosh{y}\cosh{y}\mathrm{d}y = 2\pi\int_0^{1.24}\frac{1+\cosh{(2x)}}{2}\mathrm{d}x = \pi\left[x+\frac{1}{2}\sinh{(2x)}\right]_0^{1.24} = \pi\left(1.24+\frac{1}{2}\sinh{(2.48)}\right) = 13.2085[/tex]
Har fått rett svar nå. Er ingen kløpper i Latex, men kan prøve å vise hva jeg har gjort hvertfall:
$\pi+2\pi\int_{0}^{a}\ cosh(y)*\sqrt{1+(cosh(y)\frac{d}{dy})^2}$
$=\pi+2\pi\int_{0}^{a}\ cosh(y)*\sqrt{1+sinh^2(y)}$
Forenkler uttrykk: $1+sinh^2(y)=cosh^2(y)$
$=\pi+2\pi\int_{0}^{a}\ cosh(y)*\sqrt{cosh^2(y)}$
$=\pi+2\pi\int_{0}^{a}\ cosh(y)*cosh(y)$
$=\pi+2\pi\int_{0}^{a}\ cosh^2(y)$
$=\pi+2\pi\int_{0}^{a}\ cosh^2(y)=\pi+\pi(y+sinh(y)cosh(y))+C$
Fra det zell har vist tidligere i tråden så trenger kun $a=1.24$ for at buelengden skal være lik $sinh(1.24)$
$\pi+\pi(1.24+sinh(1.24)cosh(1.24)) - (0 +sinh(0)cosh(0))$
Siden: $sinh(0)=0$
$\pi+\pi(1.24+sinh(1.24)cosh(1.24)) - 0$
$=\pi+\pi(1.24+sinh(1.24)cosh(1.24))$
$=\pi+13,2085$
$\approx 16,3500$
Takk zell!
$\pi+2\pi\int_{0}^{a}\ cosh(y)*\sqrt{1+(cosh(y)\frac{d}{dy})^2}$
$=\pi+2\pi\int_{0}^{a}\ cosh(y)*\sqrt{1+sinh^2(y)}$
Forenkler uttrykk: $1+sinh^2(y)=cosh^2(y)$
$=\pi+2\pi\int_{0}^{a}\ cosh(y)*\sqrt{cosh^2(y)}$
$=\pi+2\pi\int_{0}^{a}\ cosh(y)*cosh(y)$
$=\pi+2\pi\int_{0}^{a}\ cosh^2(y)$
$=\pi+2\pi\int_{0}^{a}\ cosh^2(y)=\pi+\pi(y+sinh(y)cosh(y))+C$
Fra det zell har vist tidligere i tråden så trenger kun $a=1.24$ for at buelengden skal være lik $sinh(1.24)$
$\pi+\pi(1.24+sinh(1.24)cosh(1.24)) - (0 +sinh(0)cosh(0))$
Siden: $sinh(0)=0$
$\pi+\pi(1.24+sinh(1.24)cosh(1.24)) - 0$
$=\pi+\pi(1.24+sinh(1.24)cosh(1.24))$
$=\pi+13,2085$
$\approx 16,3500$
Takk zell!
Last edited by ionjon on 10/11-2014 12:03, edited 1 time in total.